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内容梗概：通过一个小游戏激起了师生对连分数的兴趣；然后把回归年和朔望月之比值用连分数展开，他们发现了祖冲之把闰周从19年7闰改为391年144闰背后的数字秘密... 连分数计算与祖冲之提出391年144闰达到了惊人的一致！它还可以推算公历的闰年、火星大冲。漂亮、惊叹，已不能完全形容数学之美！ 也许只有一双擅于发现的眼睛才能欣赏到数学背后的无言之美。” “我们先做个游戏轻松一下吧”，学生刚坐下，老师对他说。 “好啊，什么游戏？” “你有计算器吗？” “当然有。” 学生手机，打开计算器。 “你随便想两个3位整数，不要告诉我，将它们相除，保留8-10位小数点，把结果告诉我，我能猜出你最开始想的那两个整数分别是多少。” “是吗？这么神奇！我试试。” 学生说道。 “这两个整数越随机越好，最好是不能整除的两个数。” “好，来了：0.52971311 。” 学生说出了一长串数字。 老师拿出手机，按了几下，很快有了结果。“我猜你刚才按下的数值是517和976.” “哇！猜对了！再来一个：0.20849934” 学生来了兴致。 “应该是157和753！” “哇！又猜对了。老师你是怎么猜的？” “很简单，还是用连分数。我手机上有个网站，可以在线计算连分数 ( http://www.maths./hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html ) ，只要输入你给我的小数，它就自动帮我算出所有的渐进分数，比如最后一次你给我的0.20849934，展开后是：[0; 4, 1, 3, 1, 9, 1, 1, 1, 439, 11, 1, 1, 1, 1, 2 ] 。在这个数列里开始是一些很小的数字，突然来了一个很大的数439，这个数的倒数很小，就说明此后连分数应该变化不大，连分数的精度一下子提高了很多，足够接近真实的数值了，那么就截取到439之前，也就是157/753. 因为我限定是100-999的数字，所以最接近的就是157/753了。”
“真有意思。我以后也可以去和别人去玩这个游戏了。” 学生说道。 “不过这个游戏也有一些限制，就是必须给出的小数是没有什么规律的，如果给出的是0.3333333，那我就没法猜了，因为有很多数都满足这个结果，例如100/300，150/450. 所以要求别人随便给出数值，越随机越好，越没规律越好，成功的几率越大。” “嗯，好的，谢谢老师的温馨提示。” “其实任意一个小数，或者是两个数的比值，都可以想办法用连分数展开。” 学生想了想问道：“祖冲之把19年7闰改为391年年144闰，能不能用连分数来解释呢？” “哦，你还是对祖冲之念念不忘。好，我们试试看。我们把回归年长度和朔望月长度的比值进行连分数展开，得到两个整数的比值，7/19是其中一个比较接近的数值，根据我们以前讨论的结果，这意味着19年里有7年是13个月，有12年是正常的12个月，12和13的交替组合出12.368...，也就是回归年和朔望月长度的比值。我们之前提过，祖冲之测量到的太阳回归年是365.2428148天，他测量到的朔望月是29.5305915天，所以两者的比值为：365.2428148 / 29.5305915 = 12.3682864450127877. 它的小数部分用7/19来近似有一定误差，祖冲之于是提出了更精确的闰周144/391。我们接下来验证一下祖冲之的改进有没有道理！” “好，非常期待！” “首先，我们用刚才的网站在线把这个小数展开为连分数，得到：[0;2,1,2,1,1,20,23680969972]，也就是：  “如果逐项依次展开，就得到了这个小数的渐进连分数：  “随着展开分数的增加，3年1闰变成8年3闰，一直到19年7闰，这些小数的值逐渐趋近真实值0.368... ”(0.5-->0.33333-->0.375-->0.363636-->0.36842)，误差逐渐减少(0.1317-->0.03495-->0.00671-->0.00465-->0.0001346)。” “祖冲之以前普遍所采纳的19年7闰，精度达到了万分之一。那接下来的展开式是多少呢？” “只需在连分数分母继续增加一个1/20，就等于...” 老师一边说，一边写出来：  “144/391! 哇！奇迹！怎么刚好是144/391! 我们和祖冲之不谋而合！难道是巧合吗？” 学生叫道。 “这不是巧合，而是不同方法精确计算后的必然结果。不过，144/391的误差只有十亿亿分之三（小数点后16个0），这非常令人惊奇，它的精度比7/19的万分之一提高了四千亿倍！” “哇，真是巨大的飞跃！祖冲之也知道用连分数展开吗？” “这个我们很难猜到，因为没有流传下祖冲之具体的推算方法，他也有可能采用了其它方法。” “那把这个连分数继续展开呢？” 学生问道。 “接下来，连分数的分母里就遇到了一个很大的数：23680969972，它的倒数非常小，对真实值的影响也微乎其微，说明144/391已经非常接近实际数值了，我们可以就此停下了。” “这个连分数数值的精度其实与回归年和朔望月的测量精度有关，对于祖冲之来说回归年的测量精度与今天的测量值有万分之六日的差别，如果不管测量的精度，那么祖冲之的方法的得出的新闰周是非常符合当时的测量结果的，也和连分数的预测非常相符。” “连分数的用处真多。除了计算闰月，还能计算其它的农历吗？比如阴历的大月和小月的分布？” “可以。农历月份有时是大月30天，有时是小月29天，并没有什么明显的规律，其实这背后也是数字在起作用。一个朔望月是29.5305915天，那么把小数部分用连分数展开得到，也就是说 2个月有1个大月，15个月有8个大月，49个月里有26个大月... 这是一般情况，但也有根据农业节气做出的微调。”  “连分数的用处真多。除了计算闰月，连分数在天文方面还有很多用途吧？哪些和我们相关呢？” “现在世界上通用的公历的前身是儒略历，颁布于公元45年。这部历法把一年定为365.25天，也就是4年一闰，但是这个和实际的365.2421991天还有一定误差！” “嗯。” “到了1582年，儒略历比实际已经差了10天。教皇颁布了新的历法：格里历。新历法规定一年为365.2425天，更接近实际值。根据新的格里历，1582年10月15日星期五对应于儒略历1582年10月4日星期四。采用新的格里历的国家被迫跳过了10天，也就是说有10天被直接删除了。这引起了工人的暴乱，因为10月份老板只发20天的工资，而工人们坚持10月份一定要发一整月的工资。” 老师说道。 “虽然格里历的365.2425天比儒略历更接近实际的天数，但是它的闰年设置比4年1闰更复杂了吧！” “我们把0.2425做连分数展开，发现刚好等于400年97闰，而且400年是整数，便于记忆、方便使用。”  “那400年里究竟哪几年设置为闰年呢？” “我们一步一步来。首先真实值比0.25略小，比0.24略大，但更接近0.24。所以我们先在100年里设置24个闰年，这相当于每4年1闰或100年25闰，但是到了第100年的时候不闰，所以是24闰。” “接下来呢？” “这样，400年应该闰了24x4=96次，比97次还少1闰。这样，到了第400年，还是再加1闰。总结一下就是：4年1闰，100年不闰，400年闰一次。” “所以2000年2月29日出生的人，本来他/她出生的那一天应该是3月1日的，但由于400年1闰，所以他/她只好每4年过一次生日了！” “对。400年97闰，97/400=0.2425。虽然它和真实的0.2421991之间的误差很小了，可是仍有一些误差。” “这些误差积累多久才能积累到一天呢？” 学生问道。 “这个很容易估算，一年真实是365.242199天，而格里历是365.2425天，那么每年差了0.000301天。那么要1/0.000301=3322年后误差才积累到一天，这已经相当小了。” “那3322年以后该怎么办呢？” “这个问题，就留给子孙后代去考虑吧。那时候的科技水平已经很发达，一定能够找到一个合适的解决方法。” 老师说道。 “连分数还有什么用处？” “你听说过火星大冲吗？” 老师问道。 “听说过，每隔若干年，火星距离地球相对比较近，看起来很明亮，不过是多久我不记得了。这也可以用连分数来预测？” “对。”  火星与地球距离很近时称为“火星大冲” “我猜一猜，这应该和火星公转周期和地球的公转周期的比值有关吧？ ” “你说的没错。” “火星的公转周期是多久呢？我查一下。”学生说道，“火星的周期是686.971天，那么和地球周期相比得到一个分数：687.971/365.2422=1.8809.” “好，做连分数展开得到一系列渐进分数：2/1（2），15/8（1.875）， 32/17（1.88235），47/25（1.88），79/42（1.88095）。根据15/8，地球转15周约等于火星转8周，但是这个比值比较粗糙。如果到79/42就非常接近实际值了，所以可以认为每隔79年就又会在相同的位置发生一次火星大冲。” “嗯，看来一辈子只能看到一次了。但是如果是按15年一次，就可以看到很多次了。” “对。不过我们之间的见面就频繁多了，每周一次。” 学生笑了笑说：“好的，老师下周见！” 参考文献：
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