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上中学的时候，数学老师告诉我们，我国南朝时期的数学家祖冲之利用魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术注》中发明的割圆术（即在圆内切割出多边形，进而计算它们的面积，从而无限接近圆周率的近似值。他正确地计算出圆内接正192边形的面积，得到圆周率的近似值157/50，又计算出圆内接正3072边形的面积，得出圆周率的近似值3927/1250），推算出圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，并提出圆周率的约率为22/7，密率为355/113，其中密率比欧洲早了1000多年。但近日读了王翼勋先生《上元积年的源流》一书，彻底颠覆了这一认知。王先生认为，如果要用割圆术推出圆周率的数值是一件非常繁难的事情，因为它要从正六变形算起，需要算到正24576边形，并需要把同一计算过程重复进行12次，每个程序中包括加减乘除及开方等十余个步骤。为此，还需要从九位数字算起，反复进行各种运算130次以上，其中的开平方运算还会出现远远大于九位的数字。即使在今天，我们用纸笔来计算，也绝不是一件轻松的事情，更何况当时的计算都是用算筹进行的。特别是，历代《九章算术》注所记载的割圆术应用，最多只到3072边形，从未割到24576边形。因此，梅荣照先生提出，祖冲之可能是利用调日法、连分数法、求一法和外切法算出的圆周率的约率和密率。 所谓调日法，是指南朝宋时的天文学家何承天用以调节朔望月长度的一种方法，他利用古传的连大月得出朔望月弱率为29又9/17日，又根据太初历的朔望月长度29又43/81，与弱率的分子、分母数分别相加，得出强率26/49。而祖冲之可利用刘徽的近似值157/50和他自己计算出的约率22/7，分子、分母与22/7的9倍分别相加，得到355/113；还可以圆周率的古率3/1（即“径一周三”）的分子、分母与22/7的16倍分别相加，得出密率355/113。 连分数法是指分子与分母辗转相除得出系列比值得方法。查有梁先生认为，约率和密率来自分数3927/1250。因为，按连分数方法计算，3927/1250的渐近分数恰为3/1、22/7、355/113。 所谓求一法，即大衍术，也就是周易筮法。钱宝琮先生认为，何承天《元嘉历》中平朔月日数中的强率可用求一术得出。已知弱率9/17小于实测数据，假定x/y大于9/17（x、y均为正整数），令17x=9y+1，则此不定方程可化为一次同余式17x同余1（mod1250），用求一术即可求得y=113，x=355。同样，祖冲之也可能以刘徽圆周率157/50为弱率，假定x/y大于157/50，即可求得x=22，y=7。祖冲之的密率还可用求一术修正刘徽的3927/1250而得。已知3927/1250大于圆周率，假定x/y小于3927/1250，令3927y=1250x+1，化此不定方程为一次同余式177y同余1（mod1250），用求一术即可求得y=113，x=355。外切法是说不定方程为一次同余式177y同余1（mod1250），用求一术即可求得y=113，再代回不定方程，求出x=355。当然，有关问题如何承天是否发明了调日法、祖冲之是否应用了调日法等，在学术界还存在争议，但总不失为一种可能性。在没有新的史料出现前，我们只能以理性和逻辑来推演。
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