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赋值问题 ——苏承心 在高中阶段，我们所学函数均为基本初等函数所构成，尽管我们没有接触连续性，但就目前而言大多函数都是连续的。故而介值定理在高中的投影——零点存在性定理被广泛应用。鉴于数形结合的直观性与不严谨性，数形结合的手段往往不能用于大题之中。又由于高中教材中没有引入极限，所以以极限为核心的一类数形结合则更不能使用。例如f(x)=e^x+a，如若讨论f(x)的零点问题中使用分离参数，也避无可避的要面对g(x)=e^x在正负无穷远处极限的问题。那么最严谨的分类讨论则当首选，在讨论之中则会涉及零点存在性定理，进而又要涉及所赋之值的选取。此类问题在近几年全国卷中出现颇多。然而关于赋值题目的答案只会告诉读者这是成立的，而并不会叙述为什么赋此值，这致使绝大多数学生与教师感到茫然。对于不含参数的函数，赋值通常很容易，无非是利用特殊常值尝试。但是在含参函数中赋值则不是那么轻松了，其中蕴含的思想与采用的手段严格来说要超出高中的要求(蕴含极限与阶等思想，采用待定等手法)。事实上，所谓的赋值法是大学极限语言在高中的部分投影。所以如果想掌握赋值法，我们或多或少的需要改变以往的思考方式。下面在介绍赋值的技巧之前先给出准备工作。
赋值准备 (一)极限与阶 由于高中函数几乎都是连续函数，所以在闭区间上函数在某一点的极限值就是函数在那一点的函数值。我们需要了解的是一些基本初等函数在无穷远处的情况。①y=sinx与y=cosx等函数具有周期性与有界性，在无穷远处仍为规律变化，不需要过多考虑；②y=x^k(k≠0)为奇函数，只考虑(0，+∞)的情况。当k>0时，函数于无穷远处递增至正无穷，而k<0时，函数呈现双曲形式，x趋近于0时函数趋于正无穷，x趋近于正无穷时函数趋于0+；③y=a^x(a≠1且a>0)为指数型函数，0<><1时，x趋于负无穷时函数趋于正无穷，x趋于正无穷时函数趋于0+。a>1时结论相反；④y=lnx，x趋于0+时函数趋于负无穷，x趋于正无穷时函数趋于正无穷。以上内容是我们在函数部分就已经了解的，但是在高中阶段却没有严谨的证明，只有直观的图像论。那么根据以上的叙述，自然而然的有一些问题:同为无穷大(小)，那么相对而言谁会更大(小)呢？这就涉及了阶的问题。这里给出无穷远处无穷大函数的阶的比较关系:c＜＜lnx＜＜x^k＜＜a^x＜＜x^x，其中c为常数，k>0，a>1。（即在无穷远处，后者要远远大于前者。）而无穷远处无穷小函数的阶的比较关系为0＜a^x＜＜x^k＜＜c，其中c为常数，k<><><1。对于以上关于阶的链，我们可以使用初等方法证明，方法置于后文的赋值技巧之中。除此之外，还有有限点处无穷小函数阶的比较(读者可参考等价无穷小的概念)。例如在x趋于0时，sinx~x~tanx~e^x-1~ln(1+x)等，进行换元后会出现更多情况。为了更好的理解函数的走向趋势，我们还要了解一些特殊函数的性质，例如y=lnx ，y=""> (二)待定思想 严格而言，导数是衔接高中与大学的过渡桥梁。高中注重等式与精确计算，而大学则更注重不等式与估计。等式注重恒等变形，这对于基础知识要求比较高；而不等式则注重方向与精度，对于绝大部分人而言，把握好这个度是极其困难的，甚至于完成不等式都不容易。于是待定思想应运而生。其实我们在数列部分已经见过最简单的有关待定的例子：待定系数构造新数列。何谓待定？就是我们难以直接达到目的时候，通过构想以及限制或添加一些条件后可以达到目的，返回来再看是否存在这样的情况，如果存在，则求解；如果不存在，并不意味对于题目不存在，不妨换一种思路思考。由此可见，待定的空间相对而言是比较大的，可容多次尝试。待定思想于处理赋值问题可谓利器，与盲目赋值再进行验证不同(若如此，则可能事倍功半甚至始终无法成功)，它蕴含了很强的目的性，而一旦我们有了明确的目的，如何操作就只是基本功的问题了。一般思路如下:根据极限与阶的关系进行预判，再进行适当的放缩将超越方程转为可解方程进行求解。这里建议读者通过足够的练习以掌握待定思想，这对于更高层次数学的学习有着至关重要的帮助。
赋值技巧 （1）利用特殊常值赋值 此处所指均为不含参数的函数。对于此类函数，如果应用零点存在性定理，所涉及的仅有数值的比较。有理数的比较众所周知，无理数则不然。故这里要求我们了解一些无理数的近似值。例如√2≈1.4142，√3≈1.7321，√5≈2.2361，√10≈3.1623，e≈2.71828，√e≈1.6487，ln2≈0.6931，ln3≈1.0986等等。例如f(x)=ln(1+x)+(1/4)x-1，f'(x)=(1/x+1)+1/4>0。而f(1)=ln2-3/4<0以及f(4)=ln5>0，故在（1,4）内存在f(x)的唯一零点。
（2）贴近函数形态与构造 每一种基本初等函数都有其运算法则，例如指数的乘法法则，对数的加法法则，指数与对数的互化等等。既然要赋值并比较与0的大小，那么赋值后的形式越简单越好。所赋之值本身越贴近函数形态，所得结果可能越简单。“指赋对，对赋指”这一手段可谓常用。除此之外，主函数几乎都是复合形态，那么其构造也可能起着至关重要的作用。例如函数f(x)=ln(1+x)+ax-2a中作赋值x=2即有f(2)=ln3>0，消除了参数的影响。情况不一而足，对于不同的题目可能需要不同的手段，请读者自行体会。 （3）熟练运用简单放缩 对于难以直接比较大小的二者，借助一些简单的放缩进行处理或可简化问题。以下放缩需熟记：①e^x≥x+1,x∈R;②lnx≤x-1,x∈(0,+∞);③e^x>x^2,x∈(0,+∞);④(2/π)x≤sinx≤x,x∈[0,π/2];⑤2(x-1)/(x+1)≤lnx≤(1/2)(x-1/x),x∈[1,+∞)等。无论是先放缩再赋值还是先赋值再放缩，都是很方便的。例如f(x)=e^x-2x+a-1，x∈(0,+∞)，a∈(0,2ln2-1）。由于f'(x)=e^x-2，易知f(x)于（0，ln2）单调递减，于（ln2，+∞）单调递增。而f(ln2)=1-2ln2+a<0，f(a)=e^a-a-1>0（0<><> （4）分类赋值 在一些赋值中，可能做不到所赋之值在它所在的范围内使式子恒非负或非正，此时可以考虑分类赋值。即将参数的区间划分为若干部分，对于每一情况都有合适的值使不等式成立。以上所述为正常的分类讨论思路，但是我们却有更好的手段简化讨论——max函数和min函数。定义max(x,y)=0.5*(x+y+|x-y|)，即为x,y中最大的一个。min函数同理。一般的，可以将他们推广为n元函数。假如有某题仅有情况p和q，在情况p下x1＜x2，f(x1)<><><> （5）极远效应 当含有不同阶的函数定义域无界，且于无界子区间内进行赋值时可能需要利用极远效应。此时利用无穷远处无穷大函数阶的特性。注意阶的知识只能帮助我们理解以及预判，而并不能不加证明的用于规范答题中，毕竟它属于大学知识。但是我们却可以用初等手段(也即高中判卷认可的手段)证明一些不等式并应用于赋值之中。例如我们知道lnx＜x对于任意x∈(0,+∞)恒成立，那么对于任意给定的正数p，则有ln(x^p)＜x^p也在(0,+∞)上恒成立，整理即有lnx＜(1/p)x^p在(0,+∞)上恒成立。根据需要对p取合适的值即可。如取p=1/2则有lnx＜2√x在(0,+∞)上恒成立。 （6）临界效应 与极远效应相对，临界效应依据的是有限点处无穷小的比较。有趣的是，临界效应中所赋之值与赋值得到的函数值往往都呈现极限逼近的趋势，其中所赋之值极限情况下会无限接近于端点，而函数值通常呈现常见不等式的形式，亦无限接近于0。规定以下函数定义在有限区间上。用分离参数与数形结合的思想考虑可知，当形成f(x)=g(a)的形式后，移动g(a)使之到达与f(x)相交或相切的过程本来就是取极限的过程，这使得交点与对应的函数值也含于极限之中，注意到它们都是与参数息息相关且可变动，而他们又与h(x)=f(x)-g(a)的零点与对应的函数值是一一对应的关系，故而临界效应便不足为奇。例如f(x)=e^x-(a+1)x-1，a>0。f(ln(a+1))=(a+1)[ln(1/(a+1))-1/(a+1)+1]≤0。 （7）待定赋值法 待定赋值法是最快捷最有效的赋值技巧。借助待定的思想，我们可以指定放缩的方向，进而将超越方程转化为可解方程，最后得到对应的解的集合。哪怕解的集合不合题意也没有关系，换一个方向待定即可。虽然都是尝试求解，但事先指定与盲目尝试却是天差地别！待定赋值法结合以上六种技巧，无论面对什么样赋值题我们都有一战之力！例如f(x)=x+alnx，a≥0。由于f`(x)=1+a/x>0，f(1)=a>0。注意到x<><><>
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