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数学运算中的盈亏问题 把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。 盈亏问题是鸡兔同笼问题的一种变式，解决的关键在于弄清两次分配时的盈亏情况，常用公式有： 一次盈，一次亏：（盈＋亏）÷（两次每份分配数之差）＝份数； 两次盈：（大盈－小盈）÷（两次每份分配数之差）＝份数； 两次亏：（大亏－小亏）÷（两次每份分配数之差）＝份数。 例1：（2013·下半年联考）某公司组织员工到外地旅游时租了几辆同样的大巴车，若每辆车坐30人则有4个人上不了车，若每辆车坐35人则最后一辆车还有21个空座。问该公司共有员工多少人？ A．154 B．162 C．178 D．186 【答案】A 【解析】根据盈亏问题公式可知，共有大巴车（4+21）÷（35-30）=5辆，共有员工30×5+4=154人。故选A。 例2：（2012·上半年联考）小王周末组织朋友自助游，费用均摊，结账时，如果每人付450元，则多出100元；如果小王的朋友每人付430元，小王自己要多付60元才刚好，这次活动人均费用是： A．437.5元 B．438.0元 C．432.5元 D．435.0元 【答案】A 【解析】由盈亏公式可知，活动参加人数为（100＋60）÷（450－430）=8人，故这次活动的人均费用为（450×8-100）÷8=450-100÷8=437.5元。故选A。 例3：（2011·内蒙古）若干学生住若干房间，如果每间房住4人，则有20人没地方住，如果每间房住8人，则有一间房只有4人住，问共有多少学生？ A．30 B．34 C．40 D．44 【答案】D 【解析】根据题意，由盈亏问题公式可知：共有房间[20＋（8－4）]÷（8－4）＝6间，故共有学生4×6＋20＝44人。故选D。 例4：（2009·四川下半年）学校给一批新入校的同学分宿舍，若每个房间住7人，则6人没有床位，若每个房间住8人，则空出3个房间，新同学人数是（ ） A．188 B．194 C．206 D．216 【答案】D 【解析】根据题意，每间房住7人则多出6人，每间房住8人则少8×3=24人，由盈亏问题公式可知：共有房间（24＋6）÷（8－7）＝30间，则新同学人数为7×30＋6＝216人。故选D。 例5：（2011·上半年联考）某单位招待所有若干间房间，现要安排一支考察队的队员住宿，若每间住3人，则有2人无房可住；若每间住4人，则有一间房间不空也不满，则该招待所的房间最多有： A．7间 B．6间 C．5间 D．4间 【答案】C 【解析一】设有x间房，则依题意有： 4x－3≤3x＋2≤4x－1 解得3≤x≤5，即最多有5间房。故选C。 【解析二】设每间住4人时不满的房间有x人，则由盈亏问题公式可知：房间数＝（4-x＋2）÷（4－3）＝6-x，而x∈{1，2，3}，则房间数最多为6-1＝5间。故选C。 例6：（2012·广东）某公司举办年终晚宴，每桌安排7名普通员工与3名管理人员，到最后2桌时，由于管理人员已经安排完，便全部安排了普通员工，结果还差2人才能刚好坐满。已知该公司普通员工人数是管理人员的3倍，则该公司有管理人员（ ）名。 A．24 B．27 C．33 D．36 【答案】B 【解析一】根据题意，每名管理人员配3名普通员工刚好配完，每名管理人员配7/3名普通员工，多出2×（7+3）-2=18名普通员工，则由盈亏问题公式可知：管理人员有（18+0）÷（3－7/3）＝27名。故选B。 【解析二】普通员工总人数是管理人员总人数的3倍，管理人员安排完时，安排的普通员工人数是管理人员总人数的7/3倍，所以剩下的普通员工人数（18名）是管理人员总人数的3-7/3=2/3倍，则管理人员总人数为18÷2/3=27。故选B。
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