数学“碎片化思维”内涵、价值及培养路径

(连云港师范高等专科学校第二附属小学，江苏 连云港 222023)

[摘 要] 数学课程除了数学知识与技能的教学，还有数学思维方式的指导与数学精神的孕育。数学碎片化思维，旨在不用常态化的眼光和思维看数学问题，而是采用“去自然化”或者说“去常规化”的数学思维方式，去探索是否还存有其他观察问题、分析问题与解决数学问题的可能和选择。其价值在于可以使学生学会反思、拥有思想，真正感悟到数学知识的本质，同时亦能使其在创新意识上得到更好的发展。

[关键词] 数学；“碎片化思维”；内涵；价值；培养路径

人的智慧最集中的体现就是人的思维。《义务教育数学课程标准(2011年版)解读》(以下简称《解读》)中指出：数学课程除了具体知识与技能的教学，更重要的是数学思维方式与数学精神的教育。[1]同时《解读》还认为“引发数学思考”是数学课堂教学中最需要做的事之一。[1]因为数学思考是数学教学中最有价值的行为，有思考才会有问题，才会有反思，才会有思想，才能真正感悟到数学的本质和价值，也才能在创新意识上得到更好的发展。然而，直面如今的数学课堂教学，培养学生常规化思维方式已成主流，而具有创新意识、蕴含反思精神、“去常规化”的数学“碎片化思维”培养却少有理论思考和实践行动。

一、对数学“碎片化思维”的基本认识

1.“碎片化思维”的内涵

“碎片化思维”不等于“碎片思维”，它不是散落一地、碎片式的、肢离破碎的思维，亦不是时断时续、相对独立的片段思维。“碎片化思维”重在一个“化”，体现一个“变”。形象地讲就是指玻璃破碎之后，成了一堆碎片，此时此刻我们发现原本所看到的整体的东西已然不再是之前的那个样子(平面、整体的玻璃)了，而是另有一番别样天地和景象(星光璀璨、晶莹剔透、五彩斑斓、角度各异)。可见“碎片化思维”倡导的是“去自然化”或者说“去常规化”的思维方式，这是一种启迪、引领人们寻找新的视角、新的可能性的思维方式。[2]如果从哲学视角来剖析，哲学在于思考，最好的思维方式就是反思性思维，即反省思维。而碎片化思维是一种灵活变通式、多维组合式思维，亦是一种反省思维(当然它不完全等同于反思性思维)。美国哲学家、教育家约翰·杜威对这种思维方式十分推崇，在杜威看来，教育应以培养求知，尤其是以反省思维(碎片化思维)来求知的好习惯为中心。反省思维(碎片化思维)为求知的最好方式。[3]学生通过反省思维(碎片化思维)对自己的知识、能力、经验和思维有了一个清醒的认知，从而努力提高自己以达到更高的水平。而当他们的努力获得成功时，他们就会为自己的成功感到骄傲。这又提升了学生的自信心，并令他们成为终身的智慧学习者。

2.数学“碎片化思维”的内涵

“数学碎片化思维”倡导在数学学习中不用常态化的眼光和思维看数学问题，而是采用“去自然化”或者说“去常规化”的思维方式，去探索是否还存有其他观察、分析和解决数学问题的可能和选择。可见，数学“碎片化”思维蕴含了一个“去自然化”或者说“去常规化”的过程。数学“碎片化”思维意味着不再试图用唯一一种惯常的数学思维方式，来对数学问题进行常态的近乎僵化的审视和思考，而是积极主动地去尝试用另外的、别样的数学思维方式来思考，最终促进数学思维更加全面、深入和系统地发展。

二、数学“碎片化思维”的价值

1.数学“碎片化思维”有助于数学思维更加全面

虽然数学“碎片化思维”是一种“去自然化”或者说“去常规化”的创新性思维和反思性思维(反省思维)，但这里的“反思”并不是对原数学思维方式的全盘否定和推倒重来，而是对其进行辩证的思量和对待，这样才有助于数学思维更加全面。

(1) 反省、反思不等于反对或摒弃。数学“碎片化”思维不是让儿童反对或摒弃已经形成的良好的数学思维方式和解决数学问题的方法策略，因为许多常规化的思维方式诸如直观动作思维、具体形象思维与抽象逻辑思维等，对学生数学思维发展亦具有重要的价值和意义。

(2) 反省、反思重在超越自然与常规。数学“碎片化思维”在于不机械追随常规的数学思维方式，而是努力思考那些被人们视作常规逻辑的数学思维方式或者常规理性的数学思维方式，将其置于一种被质疑的地位，同时进行深度的反思和质疑，以此引发超越常规的数学思维方式。而超越常规的思维方式，并不意味着站在共识的对立面，而是站在更高、更宽、更新的领域和视角。

2.数学“碎片化思维”有助于促进数学思考更加深入

数学“碎片化思维”的价值既包含了对常规化思维的辩证考量，更突出其价值追求，即追求创新，追求多种可能和选择，这样有助于促进数学思考更加深入、更加系统。

(1) 可以对“自然化”“常规化”数学思考有更加清晰的理解和认知。通过数学“碎片化思维”，学生会有序、渐进、清晰地对“自然化”“常规化”数学问题和解决过程进行再次梳理、反思、验证，以再次确认“自然化”“常规化”数学思维的合理性、准确性，同时内化为自身的知识建构和思维建构。

(2) 可以打破思维定势，使学生进行数学思考时能多一种可能，多一种选择。数学碎片化思维不是要消解数学思考的原本共识，而是要力图找到看待数学问题的不同思维视角，尝试从多样化的数学思维角度来思考常规数学逻辑之外还有没有其他的数学思维可能性。即通过对常规化思维方式的合理怀疑与质疑，去进一步追问“是否还有其他的数学思维选择也同时存在呢”。

三、数学“碎片化思维”的培养路径

1.由“停”到“思”，给“碎片化思维”留足时间

儿童数学学习是否具有蓬勃的、持之以恒的学习动力，是否形成属于自己的思维方式，儿童本身是否循序渐进拥有数学学科素养，至关重要的一个方面便是学生是否拥有个性化的学习方式，是否具有良好的数学思维态度和习惯。学生在实验操作、解决问题及归纳升华过程中，由“停”到“思”、且行且思，进行“碎片化”思维，可以促进以上目标的顺利达成。

(1) 实验操作时“停下来想一想”：思“实践价值与意义”。实验操作是儿童认知数学世界的一个重要手段和方式，儿童在实验操作过程中，既要明晰实验操作的步骤、方法，更要从中探索新知、发现规律和验证猜想，因而具有重要的意义和价值，而在此过程中应该不时停下来想一想所进行的操作步骤和思路常规性存在的意义和价值在哪里。例如，教学“怎样滚得远”(苏教版四年级上册)时，让学生展开常规性思考讨论：“油桶滚得远近可能与什么有关系呢？”其教学目的和意义是使学生清晰地认识到“影响滚动距离的因素有很多，除了斜坡的长度、斜坡与地面形成的夹角，还有物体在斜坡以及地面上滚动受到的阻力等”，同时明晰由于时间关系，在课堂上我们只研究其中的一种情况，即“研究相同的物体、在相同长度的斜坡上，斜坡与地面成什么角度时，物体滚得远一些”。而这一思维过程正是“碎片化思维”的前奏和生长点。

(2) 解决问题时“停下来想一想”：想“别样思路与方法”。儿童在解决数学问题时，可以开展从“常规化思维”走向“碎片化思维”，即除了教师精讲的算理和方法外，还是否有其他更为精巧的思路和方法。例如，教学“十几减九”(苏教版一年级下册)时，儿童的常规性思维是用十几一个一个地减，一直减完9个为止，此时可以引领学生进行“碎片化”思维：除了一个一个地减之外，还有没有其他的计算方法？从而引领学生从不同的思维角度：诸如：15-9，可以先用10-9=1，再算1+5=6；也可以把9分成5和4，先计算15-5=10，再计算10-4=6；还可以想因为9+6=15，所以15-9=6。更为可喜的是还有一个孩子说出了他的奇妙思路：先用9-5=4，再算10-4=6(9-5=4，说明被减数个位上的5比减数9小4，所以15去掉5得10，还要再从10里减去4)。

(3) 归纳升华时“停下来想一想”：悟“优化、探索可能性”。在学生通过探索，发现其中规律后，可以不急于归纳总结，而是要停下来想一想，自己所归纳的以及书本呈现的概念和算理是否还有进一步优化和深入探索的空间。例如，教学四年级“用数对确定位置”(苏教版四年级下册)，在课的总结归纳阶段，当教师询问“通过本节课的学习，你有哪些收获”时，绝大多数学生会回答“学会了用数对确定位置”“竖排为列，横排为行”，从中发现孩子们的思维只局限在本节课的教学内容中，此时，教师可渗透数学“碎片化思维”：“其实，咱们今天所学的内容也只是‘确定位置’这个家庭中的普通一员，而当让我们精确地描述出某人或某物的位置时，如某人或某物距离观察者的具体角度和精准距离，该如何确定位置？”

2.由“收”到“放”，给“碎片化思维”留有空间

研究数学思维及其规律，成为数学学习研究的核心任务，而数学思维方式又是其中的重要内容。在数学教学中教师要运用自身的教育智慧，既要促其内“思”，还要导其外“辨”，更要教其圆“巧”，三者相辅相成，使数学隐性思辨与显性思辨得以圆融共生。[4]数学思维方式的类型可以从不同的角度进行划分，通常可以相对地分为单维型和多维型、封闭型和开放型、静态型和动态型。而数学碎片化思维，就是倡导思维由“收”到“放”，倡导思维的灵活变通、重组整合，倡导思维从单维走向多维，从封闭走向开放，从静态走向动态，从而给“碎片化思维”留有空间，达到对数学问题较全面的、整体性的认识。

(1) 提倡“逆向求异思考”。每个人都习惯于顺向思考，特别是习惯于原始化、常态化的惯常思考，因而造成儿童数学思维的惰性。而逆向思考的最大特点就在于改变常态的思维轨迹，用新的观点、新的角度、新的方式研究和解决数学问题，以求产生新的思想。因而教学过程中，教师要经常引导学生采用逆向思考的方式看待问题、思考问题和解决问题(尤其是一些特殊的数学问题)，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化，使问题的解决变得轻而易举，让儿童的数学思维始终处于灵动互通状态。数学教学中逆向求异思考根据其特点大致可分为因果逆向和功能逆向：一是因果逆向——溯本求源。所谓因果逆向，在这里是指解决问题的方式、方法与思路的逆向。例如，教学一年级“十几减9”(苏教版一年级下册)时，就需要儿童逆向思考的积极渗透和参与。如计算12-9时，可以逆向思考，想加算减，即9+( )=12，因为对于儿童来说在学习20以内退位减法之前，学生已经学过并熟练掌握了20以内的进位加法；同时还可以采用数的分与合的知识进行逆向思考，即9和( )合成12。二是结构逆向——模块重组。所谓结构逆向，在这里特指数学问题结构的逆向描述，亦即思维模块的重新组装建构。例如，教学“百分数”相关知识的时候，常常会出现这样的题目：( )是60的30%，( )比20多10%等等，其实这些题目只要进行结构上的逆向描述，就会发现他们的原本面貌，可以这样理解和思考：60的30%是( )，比20多10%是( )，这样一来，学生就能轻松理解和解决问题。由上可见，教学中要积极地促使学生的思维，能够按需要自由地离开一种思路而转移到另一种思路，从而形成思维方向的多面化。只有把教学中的相关逆向思维训练的问题落实到位，才能使学生的逆向思维能力得到提高。

(2) 追求“并联多角思考”。所谓并联思维，即除了常规化的思维和方法外，思考是否存在一种和现今方法同样地位的方法、思路和策略。例如，“20以内的退位减法”(苏教版一年级下册)新知识学习结束，进行单元复习时，可以设计如下的数学问题：“一辆公交车上原有11人，到达水果超市后，有6人下车，4人上车。问现在车上有多少人？”大多数学生会按照常规化方式进行思考，即“按照先下后上的顺序想：11名乘客下去6人，还剩11-6=5(人)，又上来4人，这时车上有5+4=9(人)。”此时，教师可引领儿童开展“并联思考”：“还可以怎样来思考和解答呢？”以此渗透和培养数学“碎片化思维”：有的学生想到“原来车上有11人，4人上车后，车上有11+4=15(人)，又有6人下车，所以现在还有乘客15-6=9(人)”；还有个别小朋友想到了“下去6人又上来4人，车上乘客一共少了6-4=2(人)，因此现在还有11-2=9(人)”。

(3) 倡导“串联递进思考”。所谓串联递进思考，即在原有的基础上，进一步地思考和拓展思路，进一步探索问题的剩余价值。例如，教学“9加几”(苏教版一年级下册)时，在探索、板书出：9+2=11，9+3=12……9+9=18后，教师引导学生观察9加几的这些算式还有什么发现。常规化思考的话，学生会发现：9加几中第一个数都是9，几变大，得数也变大；进而教师可以引领学生进行碎片化思维，同时渗透“变与不变思想”以及“符号意识”，即：反向观察，几变小，得数也变小，在此基础上归纳凝聚为：①加号前面得数9是不变的，当加号后面的数发生变化时，最后的结果也会发生变化，而且是同时变大或变小；②像“9+几”这样的算式，可以用符号表示，即“9+○=□”“9+○=□”中的○和□可以表示数。

图1

(4) 力荐“全维立体思考”。所谓全维立体思考，即立体、全方位地思考数学问题，使解决问题的思路成球状、网状形态生长、发展和进行。其目的就是要让孩子们打破常规化思维方式，打破单一的点式思维、线式思维、平面思维，采用碎片化的数学思维方式，真正地打开思路、拓宽视野、提升高度，让思维立体化、网络化，更让思维流动、生动和灵动。一是拓展发散思考——多元解释。发散思考是从数学问题的要求出发，沿着不同的方向去探求多种思路的思考方式。它不墨守成规，不拘泥于常规化的做法，发散思考的要旨就是要学会朝四面八方想，就像旋转喷头一样，朝各个方向进行立体思考。例如，教学“认识图形(二)”(苏教版一年级下册)时，可以设计如下的题型，引发学生发散思考，逐步培养学生的数学碎片化思维：请把下面的正方形(如图1)分成四个大小相同的图形，你能想到几种不同的分法？学生通过不断地发散思考，创造出一个又一个的惊喜(如图2)。在此基础上，教师还可以进一步引领、拓展、发散：如果把这个正方形平均分成三份，该怎样分，你想到了哪几种呢？二是联想类比思考——触类旁通。在解决数学问题的过程中，应当引领学生逐步学会从已知信息中产生和选择达到目标的信息的联想类别能力，从而实现数学“碎片化思维”的培养和提升。例如，教学“乘法分配律”时，在学生探索、归纳出乘法分配律(a+b)×c=ac+bc后，可以进一步引领学生联想：若能将已有的数学结论通过适当变换、拓展和联想，也可以形成新的猜想，创造出新的思路和结论。此话一出，形成了“一石激起千层浪”良好效果，学生通过联想，创造和衍生出了：(a-b)×c=ac-bc，(a+b)÷c=a÷c+b÷c以及(a-b)÷c=a÷c-b÷c。

图2

综上所述，数学“碎片化思维”是大数据时代学生获取数学知识的一种重要途径，它敢于打破常规，对一些理所当然的数学概念和观察问题、分析问题、解决问题的思维方式敢于提出质疑和创新。当前开展数学“碎片化思维”方式的探讨和研究，将促进儿童用多维、全新的思维方式看待数学学习，有助于学生创新意识和智慧潜能的充分开发。

[参 考 文 献]

[1] 教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准(2011年版)解读[M].北京：北京师范大学出版社,2012:57，70.

[2] 赵婧.“碎片化”思维与教育研究：托马斯·波克维茨教授访谈录[J].全球教育展望,2012(10):4.

[3] 吴艳.我们怎样思维：杜威的反省思维及其教学启示[J].上海师范大学学报(基础教育版)，2010(4):22.

[4] 孟庆甲.数学思辨:追求隐性与显性的圆融共生[J].现代中小学教育，2012(1):34.

[责任编辑：陈学涛]

[DOI] 10.16165/j.cnki.22-1096/g4.2017.03.011

[收稿日期] 2016-10-17

[基金项目] 江苏省教育科学“十三五”规划2016年度(重点自筹)课题(B-b/2016/02/17)。

[作者简介] 孟庆甲(1974-)，男，江苏赣榆人，中学高级教师，校办主任，连云港市教科研专家库成员、高层次人才“333工程”首批名教师，江苏省特级教师后备人才、基础教育工作先进个人，国家级骨干教师。

[中图分类号] G623.5

[文献标志码]A

[文章编号]1002-1477(2017)03-0039-04