非十进位值制

文︳张新春

选择十进制，显然与人类长有10个手指头有关。这一点亚里士多德早就注意到了。在《问题集》XV卷里，亚里士多德给出了人类采用十进制的各种可能的解释。其中有的与毕达哥拉斯有关，毕氏学派认为10是一个完美的数，并给它披上神秘的外衣。首先，10是最小的4种类型的数之和：1+2+3+4＝10，其中1非素数也非合数，2是偶素数，3是奇素数，4是合数。另一种解释是1代表点，2代表线（两点确定一条直线），3代表面，4代表体……。最后，亚里士多德指出：是否因为每个人都有10个手指？事实上，前面几种解释都难以站住脚。

其实，在位值制记数法中，以哪个数为基并不是本质问题。因此，除了十进位值制记数法外，还有非十进位值制记数法。

以下一段摘自丹齐克的《数，科学的语言》（上海教育出版社）。

设想：要是人类没有屈伸自如的手指，而只有两只“不分关节”的秃拳，整个文化史会成个什么样子？这是一个有趣的问题。在这种情形之下，假如最终也发展出某种记数法的话，它很可能是二进制的。

人类采用十进制即是一种生理上的凑巧。如果相信从一切事物里都可以看出上帝的匠心，就不得不承认上帝是一位蹩脚的数学家。因为十进制的基底除了生理上的优点外，本身没有多少可以称道之处。几乎一切其他的基底，除了9以外，都和它一样高明，也许还强一些。

老实说，如果让一群专家来选择基底的话，我们也许会看到实用家和数学家之间的争论。实用家坚持要用有最多因数的数，如12为基底；而数学家则要用质数，如7或11为基底。事实上，18世纪后期的大博物学家布封曾经提议举世公用十二进制。他指出：12有4个除数，而10只有2个。他坚持说，正是由于我们的十进制，世世代代以来，人们都感到极为不便，所以虽然10是举世公用的基底，而在大多数的度量衡中，都有以12为基底的辅助单位。

另一方面，大数学家拉格朗日宣称：用质数作基底有绝对的好处。他指出：用了质数基底，每个整分数就都不能化简，因此表示该数的方法就只有一种。在我们现在的命位记数法中，譬如0.36，代表着许许多多个分数：这种暧昧不明之处就大大减少了。

不管我们委托选择基底的贤人们决定采用质数还是合数作基底，我们敢肯定，10甚至是根本不会被考虑的，因为它既非质数，又不含足够多的因数。

在非十进位值制中，最有特点的应该是二进制。相对于十进制需要用10个数码来说，二进制需要的数码少得多，只需0和1两个。比如，十进制的6用二进制表示就是1102，其中的下标2即表明这个数是二进制，从而区别于十进制的110。最高位上的1表示为1个22，即1个4（若按十进制的说法，应该把这个数位叫“四位”）。而右起第二位（应该叫“二位”）上的1表示为1个21。右起第一位（还叫“个位”）的记数单位为20。一般地，任意一个大于0的自然数N都可以表示为：

其中，a0，a1，a2，…，ak∈{0，1}且ak≠0并简记为下标2表示为二进制。

除了使用符号少外，二进制的计算法则也非常简单。二进制的加法，就是“0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10”这四条规则。我们可以把这几条规则列成一个表：

+ 0 1 0 0 1 1 1 10

在此，我们不妨考虑一下，对于十进制的加法而言，类似的表应该是什么样的。这四条规则还可以简化为“0与任何数相加得这个数本身”和“1+1=10”。相对于十进制的九九表，二进制乘法表可以说是一一表，因为只有一句“一一得一”。有了这一条，再加上“0与任何数相乘得0”以及我们熟悉的乘法运算律，就可以进行任意两数的乘法运算了。比如，计算5×6，用二进制计算的过程如右图所示。

这里确实只用了“一一得一”这一句口诀。

正因为使用符号少，运算规则简单，二进制记数法在计算机中普遍使用。使用二进制必须付出的一个代价是：一个数写出来很长！比如，一千零九十三，用十进制记为1093，而用二进制则要记成10001000101。人类愿意在小时候多学几个符号，多记几句口诀，也不愿意把数写得这么长。而计算机则恰好相反：一个符号就需要用一种物理状态表示，找到10种稳定的物理状态毕竟太难，而有两种稳定状态的东西就多了，比如开关的断开与闭合、电位的高与低、晶体管的导通与截止等，都可分别用0与1表示。简单的计算规则对计算机来说也是非常重要的。而计算机恰恰不在乎多用几个位置记录一个数，于是数被记成很长对它来说影响不大。

把一个二进制的数改写成十进制的数是一件简单的事，只要将ak×2k+ak-1× 2k-1+…+a1×21+a0×20进行计算就行了。而把一个十进制的数改写成二进制的数也有一个比较机械的程序。比如，把十进制的103改写成二进制，可以用2去除105，得到一个商和一个余数，再用2去除这个商，又得到一个商和一个余数，这样一直做下去，直到最后商为1。将最后一个商和所有的余数按“从下到上”的顺序排列起来即得二进制表示形式。

从而有：105=11010012。

二进制数与伟大的莱布尼茨密切相关。莱布尼茨是与牛顿分享微积分发明权的数学家。与牛顿不同的是，他是一位“样样皆通的大师”，“可以说莱布尼茨不止活了一生，而是活了好几世。他作为一个外交官、历史学家、哲学家和数学家，在每一个领域中都完成了足够普通人干一辈子的事情”。（[美]E·T·贝尔，数学大师，上海科技教育出版社，2004）用拉普拉斯的话来说，“莱布尼茨在他的二进位算术中看到了宇宙创始的形象。他想象1代表上帝，而0代表虚无，上帝从虚无中创造出所有的实物，恰如在他的数学系统中用1和0表示了所有的数”。

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