整除

例题1：用数字6、7、8各两个，要组成能同时被6、7、8整除的六位数，请写出一个满足要求的六位数。

解析：

组成的六位数的各位数之和为（6+7+8）×2=42能被3整除，若要满足被6整除，只要末位数不是7就行。要能被8整除，即要满足末三位数能被8整除，我们可以用例举排除法。

末三位的可能情况：

667，668，676，677，678，686，687，688；

766，767，768，776，778，786，787，788；

866，867，868，876，877，878，886，887.

 

这些情况内仅有3组能被8整除，它们是：688，768，776.

按以上分三种情况：

（1）末三位数为688；

除6、8、8外还有数字6、7、7，首先可以肯定的是该六位数能被6和8整除，重点是判断能否被7整除，判断能否被7整除，可以把两个7省略不看，形成的六位数有三种情况是600688，60688，6688，这三种情况均不能被7整除。

即末三位为688不符合条件。

（2）末三位为768；

与上同理，将两个7省略，六种情况分别是680068，860068，608068，806068，68068，86068，这六种情况均只有68068能被7整除。

即满足条件的六位数有768768；

（3）末三位为776；

与上同理，形成六位数的有三种情况：688006，868006，886006，均不能被7整除，不符合条件。

 

则符合题意的六位数是：768768.

例题2：一个五位数，它的末三位是999，如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？

解析：

此题有多种解题方法，这里介绍两种：

1、由湖南陈同学想的，从数字谜列式子的角度去解题，如下：

分两种情况

(1)三位数和23相乘



□□□

×       2 3

 

 

□□ 9 9 9

 

(2)四位数与23相乘

□□□□

×       2 3

 

 

□□ 9 9 9

解题步骤如下 

□□□ 3

×       2 3

6 9        -----（1）

2 3          -----（2）

2 0 7            -----（3）

  □□

□□ 9 9 9

最后一组□□，可以省略，因为题意所求是最小的五位数，如果是最大的话，□□可以为69（23×3）。

2、依次倒推法

假设五位数为ab999，首先用999÷23=43...10，那么

ab999-23×43=ab010，

若ab010能被23整除，则ab01也能被23整除，而

ab01÷23的商的个位数为7，则

ab01-23×7=ab01-161=a（b-2）40，

若a（b-2）40能被23整除，则a（b-2）4也能被23整除，而

a（b-2）4÷23的商的个位数为8，则

a（b-2）4-23×8=a（b-2）4-184=（a-1）（b-10）0，

（a-1）（b-10）0能被23整除即（a-1）（b-10）能被23整除，从大到小排列依次是

（a-1）（b-10）=92（23×4），a=10，b=12

（a-1）（b-10）=69（23×3），a=8， b=9

（a-1）（b-10）=46（23×2），a=6， b=6

（a-1）（b-10）=92（23×1），a=4， b=3

（a-1）（b-10）=0（23×0），a=2， b=0

所以满足条件的最小的五位数是20999.