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一、《考试说明》中复数的考试内容 (1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）； (2)复数的代数表示与向量表示； (3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘 方，复数三角形式的除法与开方； (4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。
二、考试要求 （1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几 何、三角表示及其转换； （2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义； （3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法． （4）通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识 解题的能力． （5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复 习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．
三、学习目标 (1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识； ?(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cosθ+isinθ) , OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念； (4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合； 复(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角 数 实数集 集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根 纯虚数集 ω的性质；模及共轭复数的性质； (6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）； (7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数 问题。
四、本章知识结构与复习要点 1．知识体系表解 1 1/16页 
2．复数的有关概念和性质： (1)i称为虚数单位，规定2i,,1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b?R． (2)复数的分类(下面的a，b均为实数) 
(3)复数的相等设复数，那么的充要zz,zabizabiababR,，,，,,(,,,)121112221122 条件是：． abab,,且1122 
(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b?R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的． 
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复数z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b) abR,,，， 
向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)． (7)复数与实数不同处 ?任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较 大小． ?实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则 运算和开方均通行无阻． 3．有关计算： ?**n4k，rrkNrN,,,nN,ii,i怎样计算？（先求n被4除所得的余数，） ，，，， 1313?,,,，i、,,,,i是1的两个虚立方根，并且： 122222 113322 ,,,,1,,,,,,,,,,12122121,,12 ,，,,,1 ,,,,,,121221 ? 复数集内的三角形不等式是：z,z,z,z,z，z，其中左边在复数121212 z、z对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z、z对应的向量共1212 线且同向（反向）时取等号。 nn? 棣莫佛定理是： ,,r(cos,，isin,),r(cosn,，isinn,)(n,Z) ? 若非零复数z,r(cos,，isin,)，则z的n次方根有n个，即： 2k，2k，,,,,nz,r(cos，isin)(k,0，1，2，？，n,1) knn 它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？ nrn 3 3/16页 ,,z,2，z,3(cos，isin),z? 若，复数z、z对应的点分别是A、B，则?1212133 1,AOB（O为坐标原点）的面积是，2，6，sin,33。 23 2? z=。 z,z ? 复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹： ?轨迹为一条射线。 argz,,,(为实常数), ?轨迹为一条射线。 arg(zz,),,(z是复常数，,是实常数）,00 ?轨迹是一个圆。 z,z,r(r是正的常数）,0 ?轨迹是一条直线。 z,z,z,z(z、z是复常数),1212 ?轨迹有三种可能z,z，z,z,2a(z、z是复常数，a是正的常数）,1212 情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；2a,z,z2a,z,z1212 c)当时，轨迹不存在。 2a,z,z12 ?z,z,z,z,2a(a是正的常数),轨迹有三种可能情形：a)当12 2a,z,z时，轨迹为双曲线；b) 当2a,z,z时，轨迹为两条射线；c) 当1212 2a,z,z时，轨迹不存在。 12
五、高考命题规律分析 复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高 考热点之一。但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复 习的尺度。 从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基 础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件 及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。主要考点为复数的模与辐角主值， 共轭复数的概念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题； 若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进 行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。有关复数n次乘方、求 4 4/16页 辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进 行变换。 复数的运算是高考中复数部分的热点问题。主要考查复数的代数和三角形式的运算， 复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。 基于上述情况，我们在学习“复数”一章内容时，要注意以下几点： （1）复数的概念几乎都是解题的手段。因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复 数概念上下功夫。除去复数相等、模、辐角、共轭 
复数的三角形式和代数式，提供了将“复数问题实数化”的手段。 复数的几何意义也是解题的一个重要手段。 （2）对于涉及知识点多，与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想方法较多的 题型，以及复数本身的综合题，一直成为学生的难点，应掌握规律及典型题型的技巧解法， 并加以强化训练以突破此难点； (3) 重视以下知识盲点： ?不能正确理解复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向； ?忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数； ?盲目地将实数范围内数与形的一些结论，不加怀疑地引用到复数范围中来； ?容易混淆复数的有关概念，如纯虚数与虚数的区别问题，实轴与虚轴的交集问题， 复数辐角主值的范围问题等。
六、典型例题分析 
?实数？?虚数？?纯虚数？ 
?复数z是实数的充要条件是： 
?当m＝ ,2时复数z为实数． ?复数z是虚数的充要条件： 5 5/16页 |
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