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摘 要：计算技能是重要的数学技能，属于心智活动技能。计算技能的发展总是从简单到复杂、从低级到高级、从具体到抽象，有层次地发展起来的。它的形成过程，一般经历五个连续而又递进的心理阶段：认知阶段、物化阶段、外化阶段、内化阶段和熟练阶段。 关键词：计算技能 形成过程 心理透视 计算教学是小学数学教学的重要内容。学生在计算学习中不仅要探究并领悟算理，抽象并掌握算法，而且要形成技能并学会运用，发展数学思维，丰富数学活动经验，形成良好的情感、态度和价值观。我国历来有重视计算教学的优良传统，《义务教育数学课程标准（2011年版）》更是明确要求注重发展学生的运算能力。运算能力不仅是一种数学的操作能力，更是一种数学的思维能力。但是一段时间以来，部分教师对于计算技能的形成过程认识不清，训练价值重视不够，导致学生运算能力有下降的趋势。 计算技能是重要的数学技能，属于心智活动技能。它是指能正确运用各种概念、公式、法则进行数学运算，作代数式的变形，包括对算法的选择以及对所采用算法合理性的判断，还包括达到一定的运算速度。衡量小学生计算技能形成的标志是：看运算的准确度、速度、灵活性和意识到运算法则的清晰程度。简而言之，就是要求计算“正确、迅速、合理、灵活”。这与我国计算教学的传统是一脉相承的。当然，绝不是越快越好。从计算技能形成的复杂过程看，形成计算技能并非一朝一夕的练习所能奏效的，要经历一个较长的训练过程。计算技能的发展总是从简单到复杂、从低级到高级、从具体到抽象，有层次地发展起来的。计算技能是学生在学习和应用数学知识的过程中，通过实际操作获得动觉经验，同时借助感觉、知觉、想象、思维等内部语言，在头脑中进行数学思维活动而逐渐形成的心智活动方式。 前苏联心理学家加里培林认为，智力活动是外部的、物质活动的反映，是外部物质活动向反映方面─—知觉、表象和概念方面转化的结果。可见，心智活动技能是一个从外部的物质活动向内部的心理活动转化的过程。计算技能形成的过程，并不简单等于机械、反复地操练计算法则，而是要遵循一定的心理规律，一般经历以下五个连续而又递进的阶段。 一、认知阶段：建立定向映像 这个阶段的任务是了解、熟悉活动，知道要“做什么”和“怎样做”，从而在头脑中建立定向映像。让学生理解与技能有关的知识、程序，形成关于活动本身和结果的表象。如教学“笔算三位数乘一位数”，经复习“笔算两位数乘一位数”的计算法则，能有效唤起相关经验和方法，使学生自然产生接近联想，从而引起学习的正向迁移。 二、物化阶段：帮助理解算理 物化阶段即物质活动和物质化阶段，主要应用实物、图片、模型、图解等为支柱进行智力活动。所谓物质活动是指动作的客体是实际事物，而物质化活动是指活动借助于实际事物的代替物如模拟的教具、学具，乃至图画、图解、言语等进行的。数学知识具有一定的抽象性，而低年级小学生的思维具有直观性。据研究，三至七八岁儿童的思维主要是凭借事物的具体形象的联想进行的，称作具体形象思维。要解决数学知识的抽象性与儿童思维的具体形象性的矛盾，可以先把要学的数学知识“物化”，即用实物（学具）或图形把教学内容表达出来，让学生根据对实物的操作或对图形的观察，进行具体形象思维，然后逐步使“物化”的知识“内化”为儿童头脑里的智力活动，使具体形象思维转化为抽象的逻辑思维。 小学数学课堂教学中主要不是以实际事物而是以它的替代物进行的物质化活动。如教学9+4，教材呈现的内容是静态的图片情境“盒子里面有9个桃，外面有4个桃，一共有多少个桃？”教师要组织学生凭借图片、小棒等学具开展动态的数学思维活动。因为盒子里面一共有10个格子，所以交流时就有少数资优学生想到：从外面的4个中拿出1个放到盒子里面，这样就能一眼看出一共有13个桃。这是契合教材意图和教学目标的方法，如何将部分学生的智慧转化为大家的共识，还需要连续的跟进活动： 看一看：以问题“怎样移动，就能一眼看出一共有多少个桃？”驱动学生的思维。学生交流后，课件动态演示1个桃从盒子外面移到里面的过程。虽然是简单的一“移”，不仅可以让学生一眼“看”出算式的结果，而且这种感知有助于每个学生建立清晰的表象，为后续学习提供操作模型。 摆一摆：每位学生利用学具小棒（也可用圆片、小正方体等）进行操作，先从4根里拿出1根，和原来的9根凑成10根，捆成一捆，然后把剩下的3根加上，得13根。这种操作虽然属于简单的、低层次的模仿活动，但是学生学习过程中不可或缺的阶段。学生由观察别人的操作到自己亲自动手操作，是一种体验学习的过程，也是一种熟悉操作流程、获得动觉经验的过程。 加里培林认为，物质化的形式是学生最易理解、最方便的。在活动的定向基础建立后，就要让学生实际地做出这样的活动（即操作），只有物质的（或物质化的）活动形式才是完备的智力活动的源泉。事实上，计算9+4，不经历物质化操作活动，大多数学生是难以真正理解9+4=13算理的。 说一说：学生一边操作，一边用自己的语言表述，可以说是边摆边说。在此基础上，引导学生用算式表示操作过程（板书如下），并组织学生采用多种形式表述计算步骤，帮助每个学生逐步掌握计算方法。
数学技能作为一种活动方式，主要是借助于内部语言默默地进行的，而内部语言是由外部语言转化而来的。在边做边说的场合下，借助于出声言语进行智力活动，并逐渐将言语变成了表象，借助言语声音形象活动易于向言语执行水平转化。所以，用自己的语言对数学活动的全过程进行描述，是数学技能训练中的一个重要措施。另外，用自己的语言描述数学活动，对于在数学学习中有困难的学生，可以有效提高他们的概念理解能力和计算能力。 练一练：第86页“试一试”、第87页“想想做做”第1、2题。（板书如下）
这是学生在变化的数学情景下进行模式操作训练，依据已经建立起的定向映像做出相应的动作，以熟悉动作的各个步骤，使动作在头脑中得到反映，从而在感觉上获得完备的动觉映像。心理学认为，这种动觉映像是数学技能开始形成及内化的基础。只有这样才能使学生确切地了解活动的结构，在头脑中形成完备的动作映像，获得正确的动觉经验，使活动方式能够在直觉水平上得到概括，使获得方式具有稳定性，为动作定型奠定基础，并为内化创造条件。 想一想：计算9加几时，为什么都要先把另一个加数拆成1和几？由于学生经历了看、摆、说、练等过程，此时引导学生归纳、思考已经水到渠成。学生结合板书（如前文图示）可以自然地想到“这是因为一个加数是9，9加1等于10，再算10加几等于十几，这样好算”，教师相机揭示“凑十法”。至此，学生基本能够理解计算9加几运用“凑十法”的算理。 算理指计算过程中每一个步骤在数学上的理由和操作过程的合理性。它是四则运算的理论依据，由数学概念、运算定律、运算性质等构成。在低年级运算概念的初步建立、基本计算教学的起步阶段，要注意从情境出发学习，并加强学具操作，避免单纯的符号训练。通过动手操作（知识的图式表征）—语言表示（认知表征）—数学符号（抽象概括），提高学生对算理的理解。纵观现行的各种版本教材，都非常重视让学生经历观察、操作、比较、分析和交流等探索活动，发展学生的数学思考。 三、外化阶段：明确计算程序 计算正确是计算技能形成的第一步。从法则转化为计算技能，最初要明确意识到法则。明晰地意识法则，严格按法则进行计算，是达到正确的保证。在这个阶段，学生不仅要清晰地意识到算什么，还要清晰地意识到怎么算以及为什么这样算，并能够按照法则的规定一步一步地进行思考，说出或写出运算的全过程，仿佛是在法则的变式课题上再理解法则一样。 例如，初学5/9+2/9时，学生应清楚地知道，要计算的是两个同分母分数相加，分子相加，分母不变。把这个过程写出来，即5/9+2/9=5+2/9=7/9。这样做，才能保证各个运算环节严格按照规定的顺序进行，巩固正确的运算方法。从意识到法则，到不用意识到法则是一个熟练的过程。有的研究认为，运算时意识到法则，是法则变式课题引起对法则的联想。联想包括两个部分，第一部分是法则中涉及的“条件和任务”，第二部分是法则中的“运算规定”。看到算式先联想到法则第一部分，但仅仅这样还不知如何算，于是又唤起联想中的第二部分，然后才一步步算。例如，学生看到5/9+2/9，先联想到“同分母分数相加”（条件和任务）；再联想到“分子相加，分母不变”（运算规定）。学生有了这些清晰的联想，才能为形成计算技能打下坚实的基础。 在这个阶段，学生的学习活动离开了它的物质或物质化的客体，以出声的外部语言形式来完成实在的活动。如，计算9+4学生可以不用学具，只看着算式说出其“凑十”的过程和最后的结果：因为9+（1）=10，所以把4分成1和3，先算9+1=10，再算10+3=13。有时，由于计算法则叙述比较冗长，计算步骤较多，学生表述和记忆困难，不能有效指导学生操练计算，这时就有必要帮助学生以简洁的语言，简化的步骤对法则加以凝练。精简法则时要做到完整、准确，板书时要尽量减少字数，抓住法则的要点。如计算9+4可以将算法简化为有序的三步：一想，9+（ ）=10；二分，把4分成1和3；三算，先算9+1=10，再算10+3=13。应该注意的是，计算法则不宜由教师和盘托出，而应由学生逐步悟出；不宜过早揭示，而应水到渠成；不宜强求程式化叙述，而应提倡个性化理解；不宜强行统一，而应由学生自主选择。 活动向言语转化，不仅意味着用言语来表达活动，而首先意味着在言语中完成了实在的活动；言语活动真正的优越性，不在于脱离与实际的直接联系，而且它必然为活动创造新的目标──抽象化，从而保证活动的高度定型化，也保证活动的迅速自动化。 还要适时引导学生从出声的外部语言阶段过渡到不出声的外部言语阶段。后者不只是“言语减去声音”，而是以词的声音表象、动觉表象为基础的智力活动阶段，如教学9+4要提供机会让学生在脑中如放电影般“过一过”，静思默想其计算步骤和结果。不出声的外部言语形式的活动的形成，是活动向智力水平转化的开始。 这个阶段，还应该把新学法则与其他类似法则分化开来，以排除干扰。例如，计算25+30时，一方面要严格按法则进行思考和计算，另一方面还要将其与25+3加以对比，弄清它们的区别。 四、内化阶段：压缩中间过程 数学活动中动作迅速是数学技能水平高的重要标志。提高运算速度是运算技能形成的第二步。在此过程中，学生意识法则的明晰度逐渐降下来，压缩了一部分运算的中间环节，简化了推理过程，提高了运算速度。 提高运算速度，主要是从两方面来做的。一方面，说法则和写法则所花费的时间和精力大为减少，通过简缩思维，算出结果。例如5/9+2/9，想：分子相加，分母不变，得7/9。另一方面，根据数的特点、运算律和性质，进行简缩思维，灵活地选用简便算法，迅速算出结果。例如，381-（46+181）=381-181-46=200-46=154。经过练习，学生看到计算的题目所产生的联想逐渐简缩。如果把表现法则的所有过程都一步步想清楚，则需要很多个思考过程，是相当费时间的。如果总这样做，运算技能也难形成。因此，只有逐渐降低对法则意识的明晰度，压缩中间思维过程，才能逐渐形成运算技能。 五、熟练阶段：形成动力定型 运算技能形成的最后阶段是使运算自动化。外部语言已经转化为内部语言，主要是用“为自己用的言语”进行思考，所以在结构上发生了较大的变化，常常以非常简缩的形式进行思考，此时，学生完全掌握了心智活动技能，对于技能所涉及的活动达到熟练程度，智力活动高度压缩和自动化，刺激和反应几乎同时发生，中间不需要有意识的思考。看到算式就直接接通到计算，连法则第一部分也无须联想到，完全不用去意识法则了，不用意识到运算法则是运算熟练的主要特点。看到有的题目，就能立即得出结果。例如，前面讲的9+4在这一阶段，很可能很快地得出13，“凑十”的中间过程已简约得连学生自己也觉察不到的自动化的地步。复杂的题目，其运算过程也自动化了，意识到的往往只是结果。 从认知心理学来看，计算技能学习属于程序性知识。程序性知识的学习先以命题网络的形式表征（陈述性知识），经过在不同背景下的练习，再转化为以产生式的方式表征的知识（程序性知识）。一系列小的操作步骤整合为大的步骤，从而形成产生式系统（某种次要的中间步骤被省略了），这就是所有熟练的技能达到自动化的心理机制。还是以计算9+4为例，我们可以看到儿童在不同的心理发展阶段，思维由繁琐到简约、由展开到压缩的过程： 最初做简单的加法题，如9+4，采用“逐个加”的方法，先数9个手指，再数4个手指，最后求和。其产生式为： P1：如果 第一个加数是9， 那么 数9个手指。 P2：如果 第二个加数是4， 那么 数4个手指。 P3：如果 总共有13个手指， 那么 答案为13。 以后，采用“累加”的方法，先记住一个加数，如9，然后从10开始累加4个手指，得到答案。其产生式为： P1：如果 第一个加数是9， 那么 记住9，从10开始累加。 P2：如果 第二个加数是4， 那么 从10起数过4个手指，数到几，答案就是几。 到后来直接通过提取事实得到答案，其产生式为： P：如果 要求计算9+4， 那么 结果为13。 我们可以看到在技能熟练过程中从条件到目标之间的某些中间环节渐渐消失，到后来，似乎已知条件和目标之间建立了直接的联系，中间的环节不再被信息加工者所意识。这充分说明了熟练的技能有助于学生迅速而正确地解决问题。 运算的自动化并非完全无意识，只是意识不与动作相联系，主体觉察不到，或者意识变为压缩、简化的新形式，在头脑中只闪出个别关键的词语。但是，当运算遇到障碍时，又会有意识地进行调整，排除障碍，进一步提高自动化的程度。例如，当学生计算618÷6时，如果得数是13，在意识所得的结果时，感到似乎有误，此时就又会意识到“十位不够商1应商0”这一法则。 只有通过科学合理的训练，并达到自动化的程度，才能使技能真正发挥作用。经过适当训练后，各相关的心智动作紧密地联系在一起，形成动作链索，并达到自动化的熟练程度。这样的技能可以在头脑中表征为“技能组块”，在运用时只需占据少量的工作记忆空间，这就为其他知识、技能进入工作记忆留出了空间，这样的技能就能够在数学活动中有效地与其他知识技能发生联系。否则，如果计算技能水平低而造成计算速度慢，就会产生执行需要更多工作记忆的任务时的信息加工障碍，从而造成今后越来越多的学习困难。 在计算技能形成的过程中，心理活动大致分为以上五个过程。这些过程没有明显的界限，每个过程的长短也因教材和学生而各不相同，运算自动化的程度也各不一样。教学中，应根据教材、班级和学生的情况，并按照学生心理变化的规律去组织、指导练习，这样才能有效地提高学生的运算能力。 参考文献： [1]周玉仁.小学学科教学论（数学）[M].北京:科学出版社,1998 [2]潘菽.教育心理学 [M].北京:人民教育出版社,1985 [3]曹才翰,章建跃.数学教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社,1999 [4]徐速.小学数学学习心理研究[M].杭州:浙江大学出版社,2006 |
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