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函数可以说是高考数学的重中之重，几乎是每年高考数学必考热点之一。 这是为什么呢？从函数的定义我们可以看出一些端倪，传统函数定义： 一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。 x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域 。 现代数学函数的定义： 给定一个数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B，也就是B=f（A）。那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数。 函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。 从这里我们可以看出，函数具有逻辑性强、系统性强、非常抽象等鲜明数学特点，同时解决函数类问题我们还要借助图象等手段，这就说明跟函数相关的问题，都蕴含包括数形结合在内等丰富的数学思想方法。 因此，函数类问题因其具有这些特殊性，在平时数学学习过程中能很好培养一个人的思维能力，在考试当中更加能考查一个人运用知识解决问题能力水平的高低，自然就成为高考数学的热门考点。 幂函数是高中函数中一种重要函数，也是5类基本初等函数之一，今天我们就来讲讲与幂函数相关的高考数学问题。 一般地.形如y=xα(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。如函数y=x0、y=x1、y=x²、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函数。 幂函数是形如y=xa的函数，a可以是自然数、有理数，也可以是任意实数或复数 。 大家一定要记住一些常用幂函数的图象与性质，如下表： 典型例题分析1： 已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f(x)解析式； (2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式． 解：(1)由于f(x)有两个零点0和－2， 所以可设f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)， 这时f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a， 由于f(x)有最小值－1， 所以必有a＞0且-a=-1 解得a＝1. 因此f(x)的解析式是f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x. (2)设点P(x，y)是函数g(x)图象上任一点， 它关于原点对称的点P′(－x，－y)必在f(x)图象上， 所以－y＝(－x)2＋2(－x)， 即－y＝x2－2x， y＝－x2＋2x， 故g(x)＝－x2＋2x. 同时，要牢记以下幂函数图象的三个特点： 1、幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性； 2、幂函数的图象最多只能经过两个象限内； 3、如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。 典型例题2： 设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)， 且过点A(2,2)的抛物线的一部分． (1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式； (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图； (3)写出函数f(x)的值域． 解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为 y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2， 则y＝－2(x－3)2＋4， 即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14. 当x<－2时，即－x>2. 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14， 即f(x)＝－2x2－12x－14. 所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为 f(x)＝－2x2－12x－14. (2)函数f(x)的图象如图， (3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]． 解决任何函数问题，我们都需要借助函数的图象与性质，如幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： 1、α的正负： α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升； α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降。 2、曲线在第一象限的凹凸性： α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸； α<0时，曲线下凸． 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数。借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键。 典型例题分析3： 已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1. (1)若存在x∈R使f(x)<b·g(x)，求实数b的取值范围； (2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增， 求实数m的取值范围． 解：(1)∃x∈R，f(x)<bg(x)⇒∃x∈R， x2－bx＋b<0⇒(－b)2－4b>0⇒b<0或b>4. 故b的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F(x)＝x2－mx＋1－m2， Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4. 典型例题分析4： 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由f(0)＝1， 得c＝1.即f(x)＝ax2＋bx＋1. 又f(x＋1)－f(x)＝2x， 则a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 即2ax＋a＋b＝2x， 所以2a=2且a+b=2. 解得a=1,b=-1. 因此，f(x)＝x2－x＋1. (2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m， 即x2－3x＋1－m>0， 要使此不等式在[－1,1]上恒成立， 只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1， 由－m－1>0得，m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)． 本文转载自【吴国平数学教育】 并得到授权添加原创标志！
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