几何画板解析2017年连云港中考倒二（几何背景）

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（2017·连云港）如图，已知二次函数y=ax²+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．

（1）求此二次函数的关系式；

（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；

（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A₁、B₁、C₁，△A₁B₁C₁的外接圆记为⊙M₁，是否存在某个位置，使⊙M₁经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．

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【图文解析】

（1）简析：把点A（3，0），B（4，1）代入y=ax²+bx+3，解得a=0.5，b=－2.5.得：y=0.5x²﹣2.5x+3；

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（2）简析：方法多种，仅选一种最便捷的方法，如下图，

所以△ABC是直角三角形.

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显然圆心M是BC的中点，如下图示，

所以，圆心M的坐标为（2，2）.

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（3）动画演示（自动播放）

       如下图示，不难证明OM∥AB.

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因此存在一个位置，使⊙M₁经过原点.同时当点M与O点重合时，抛物线顶点D所平移的方向和距离与点M相同.

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       如下图示，不难得到，⊙M₁经过原点时，平移的方向和距离：

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       对应的抛物线的顶点也是同样的平移。因平移前抛物线y=0.5x²﹣2.5x+3=1/2（x﹣5/2）²﹣1/8，其顶点D（5/2，1/8），所以平移后的顶点D₁为：

    

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【反思】圆心的平移与抛物线的平移一致.

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