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（2017·宁波）如图，抛物线y=(1/4) x2+(1/4)x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，15/2）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D． （1）求c的值及直线AC的函数表达式； （2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点． ①求证：△APM∽△AON； ②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）． 【图文分析】 （1）将C（6，15/2）代入y=(1/4) x2+(1/4)x+c得c=﹣3，所以抛物线解析式为y=(1/4) x2+(1/4)x－3，当y=0时，(1/4) x2+(1/4)x－3＝0，解得x=﹣4或x=3，所以A（﹣4，0）. 再利用待定系数法可求得AC的解析式为y=（3/4）x+3. （2）①如下图示： 不难求得B（0，－3）、D（0，3），得到OB＝OD，又OA⊥BD，所以AB＝AD，从而得到∠1＝∠2. 根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”和“对顶角相等”可得到∠3＝∠5.如下图示， 因此，△APM∽△AON. ②如下图示， 分别在Rt△AOB和Rt△AME中,由cos∠1＝AE/AM＝4/5＝cos∠2可得AM＝5/4×AE=5/4×(m+4)=5(m+4)/4，同时AP＝2m+4. 如下图示，由上一题知△APM∽△AON，得到AN：OA＝AM：AP，进一步得到AN＝OA×AM/AP，将相关数据代入， （显然本题用相似来解答也可） 反思：本题为二次函数背景下的几何问题的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识，综合性较强．同时最后一小题含式的化简计算（有一定的计算量）． |
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