中考加油 | 每日一道中考题，助力中考得高分（30）

数姐说：

国庆假期来临，你定学习计划了吗？好消息是国庆期间 初中数学每日一题正常更新，大家可以利用国庆期间好好做题哈~

    （2017 ·四川达州·10）

10．已知函数y=的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论：

①若点M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）在图象上，且x₁＜x₂＜0，则y₁＜y₂；

②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；

③无论点P在什么位置，始终有S_△AOB=7.5，AP=4BP；

④当点P移动到使∠AOB=90°时，点A的坐标为（2，﹣）．

其中正确的结论个数为（　　）

 

A．1 B．2 C．3 D．4

先自己思考

本题考点

反比例函数综合题、等腰三角形的判定

题目分析

①错误．因为x₁＜x₂＜0，函数y随x是增大而减小，所以y₁＞y₂；

②正确．求出A、B两点坐标即可解决问题；

③正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），可得PB=﹣，PA=﹣，推出PA=4PB，S_AOB=S_△OPB+S_△OPA=+=7.5；

④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），推出PB=﹣，PA=﹣，OP=﹣m，由△OPB∽△APO，可得OP²=PBPA，列出方程即可解决问题；

题目解析

解：①错误．∵x₁＜x₂＜0，函数y随x是增大而减小，

∴y₁＞y₂，故①错误．

②正确．∵P（0，﹣3），

∴B（﹣1，﹣3），A（4，﹣3），

∴AB=5，OA==5，

∴AB=AO，

∴△AOB是等腰三角形，故②正确．

③正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），

∴PB=﹣，PA=﹣，

∴PA=4PB，

∵S_AOB=S_△OPB+S_△OPA=+=7.5，故③正确．

④正确．设P（0，m），则B（，m），A（﹣，m），

∴PB=﹣，PA=﹣，OP=﹣m，

∵∠AOB=90°，∠OPB=∠OPA=90°，

∴∠BOP+∠AOP=90°，∠AOP+∠OPA=90°，

∴∠BOP=∠OAP，

∴△OPB∽△APO，

∴=，

∴OP²=PBPA，

∴m²=﹣（﹣），

∴m⁴=36，

∵m＜0，

∴m=﹣，

∴A（2，﹣），故④正确．

∴②③④正确，

故选C．

本题点评

本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题