2018年高考数学专题讲解：立体几何证明（一）

【直线与平面平行的判定定理】

1、判定定理：如果平面外的一条直线与平面上一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。

2、判定定理描述：

如下图所示：

因为：直线直线；直线平面；

所以：直线平面。

【直线与平面平行的证明方法】

1、直线与平面平行的证明步骤：

第一步：在平面上寻找一条直线；

第二步：证明两条直线平行。

2、步骤分析：

直线与平面平行时，直线与平面上任意一条直线的位置关系：

①平行：如下图所示：

②异面：如下图所示：

【结论】：直线与平面平行，那么这条直线与平面上任意一条直线的位置关系为平行或者异面。

方法一：三角形的中位线平行于底边

【方法描述】

1、方法描述：在三角形中：中位线平行于底边。

2、图示说明：如下图所示：

在中：点为线段的中点，点为线段的中点线段为的中位线

。

【方法一证明】

已知：在中：点为线段的中点，点为线段的中点；

求证：线段线段。

证明：如下图所示：

点为线段的中点，点为线段的中点，∽

。

三角形自现原则一

【三角形自现原则一】

【条件】：题目已知两个中点信息。

【题目模型】

已知：点为线段的中点，点为线段的中点；

求证：直线平面。

【推理过程】

确定目标三角形（目标三角形为有中位线的三角形）

（1）、点为线段的中点点和点为目标三角形的两个端点；

（2）、点为线段的中点点和点为目标三角形的两个端点；

三角形的端点：点和点，点和点（四个端点中有一组重复才可以构成目标三角形）

目标三角形：

中位线：线段（三角形中两个边的中点连线为三角形的中位线）

底边：线段（目标三角形中：其中两个边上有中点，第三条边为底边）

中位线平行于底边：线段线段

【证明过程】

点为线段的中点，点为线段的中点线段为的中位线。

【三角形自现原则一失败原因】

【失败原因一】

原因：四个目标三角形的端点没有重复的一组字母，没有办法构成三角形。

【题目模型】

已知：点为线段的中点，点为线段的中点；

求证：直线平面。

【推理过程】

（1）、点为线段的中点点和点为目标三角形的两个端点；

（2）、点为线段的中点点和点为目标三角形的两个端点；

三角形的端点：点和点；点和点；

目标三角形：因为：四个端点中没有一组重复字母；所以：无法构成目标三角形，三角形自现原则一失败。

【失败原因二】

原因：中位线平行于底边不可以证明题目中的直线与平面平行。

【题目模型】

已知：点为线段的中点，点为线段的中点；

求证：直线平面。

【推理过程】

确定目标三角形（目标三角形为有中位线的三角形）

（1）、点为线段的中点点和点为目标三角形的两个端点；

（2）、点为线段的中点点和点为目标三角形的两个端点；

三角形的端点：点和点，点和点（四个端点中有一组重复才可以构成目标三角形）

目标三角形：

中位线：线段（三角形中两个边的中点连线为三角形的中位线）

底边：线段（目标三角形中：其中两个边上有中点，第三条边为底边）

中位线平行于底边：线段线段

证明直线与平面平行：

第一种：线段和线段没有一条为直线；

第二种：线段和线段没有一条为平面上的直线。

【三角形自现原则一的相关例题】

【例题一】：【2016年高考数学江苏卷第16题】如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，。

求证：（Ⅰ）直线平面

【推导过程】：已知：点为的中点，点为的中点；符合原则一的两个中点的已知信息条件。

（1）、点为的中点点和点为目标三角形的两个端点；

（2）、点为的中点点和点为目标三角形的另外两个端点。

三角形的端点：点和点，点和点（点重复，原则一成功）

目标三角形：；中位线：线段；底边：线段

中位线平行于底边：，为直线与平面平行中的直线，不是平面的直线

解决方案：平行线传递性（平行于同一条直线的两条直线平行）

因为：，；所以：，平面平面

【证明过程】：点为的中点，点为的中点为的中位线，

，平面平面。

【例题二】：【2015年高考数学江苏卷第16题】如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为，。

求证：（Ⅰ）平面

【推导过程】：已知点为的中点，矩形点为的中点（平行四边形对角线互相平分）；符合原则一的两个中点已知信息

（1）、点为的中点点和点为目标三角形的两个端点；

（2）、点为的中点点和点为目标三角形的另外两个端点。

三角形的端点：点和点，点和点（有两个点，符合有一组重复字母的要求）

目标三角形：；中位线：线段；底边：线段

中位线平行于底边：，为直线与平面平行中的直线，为平面上的一条直线

可以证明平面

【证明过程】：矩形点为的中点，点为的中点为的中位线

，平面平面。

【例题三】：【2015年高考文科数学北京卷第18题】如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点。

（Ⅰ）求证：平面

【推导过程】：点为的中点，点为的中点；符合原则一的两个中点已知信息

（1）、点为的中点点和点为目标三角形的端点；

（2）、点为的中点点和点为目标三角形的另外两个端点；

三角形的端点：点和点，点和点（有两个点，符合有一组重复字母的要求）

目标三角形：；中位线：线段；底边：线段

中位线平行于底边：，为直线与平面平行中的直线，为平面上的一条直线

可以证明平面。

【证明过程】：点为的中点，点为的中点为的中位线

，平面平面。

【跟踪训练】

【跟踪训练一】：【2014年全国高考数学江苏卷】如下图，在三棱锥中，分别为棱的中点，已知：，。

求证：（Ⅰ）直线平面

【跟踪训练二】：【2012年全国高考数学浙江卷】如下图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，且平面，，分别为的中点。

（Ⅰ）证明平面

【跟踪训练三】：【2011年全国高考数学北京卷】如图，在四面体中，，，点分别为棱的中点。

（Ⅰ）求证：平面

【跟踪训练四】：【2014年高考理科数学湖北卷第19题】如图，在棱长为的正方体中，，，，分别时棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且（）。

（Ⅰ）当时：证明：直线平面；

【跟踪训练五】：【2014年聊城模拟试题】如下图所示，在正三棱柱中，，，为的中点，为边上的点。

（Ⅰ）当为中点时，证明：平面。

【跟踪训练参考答案】

【跟踪训练一】：因为：点为线段的中点，点为的中点；所以：线段为的中位线。

因为：线段为的中位线，线段为的底边；所以：。

因为：，平面；所以：直线平面。

【跟踪训练二】：因为：分别为的中点；所以：线段为的中位线。

因为：线段为的中位线，线段为的底边；所以：。

因为：，平面；所以：平面。

【跟踪训练三】：因为：点为线段的中点，点为线段的中点；所以：线段为的中位线。

因为：线段为的中位线，线段为的底边；所以：。

因为：，平面；所以：平面。

【跟踪训练四】：因为：点为线段的中点，点为线段的中点；所以：线段为的中位线。

因为：线段为的中位线，线段为的底边；所以：。

因为：，；所以：。

因为：，平面；所以：直线平面。

【跟踪训练五】：因为：点为线段的中点，点为线段中点；所以：线段为的中位线。

因为：线段为的中位线，线段为的底边；所以：。

因为：，平面；所以：平面。

三角形自现原则二

【三角形自现原则二】

【条件】：题目已知一个中点信息。

【题目模型一】

已知：在四棱锥中：底面为平行四边形（矩形、菱形、正方形），点为线段的中点。

证明：直线平面。

【推理过程】

确定目标三角形（有中位线的三角形）

（1）、点为线段的中点点和点为目标三角形的两个端点

（2）、证明：直线平面

因为：中位线底边直线平面；所以：直线为中位线或者底边；

因为：中位线为两个中点的连线，点为线段的中点；所以：中位线名称为或者；

因为：直线中并没有点；所以：直线并不是中位线而是底边；

因为：直线为目标三角形的底边；所以：点和点为目标三角形的另外两个端点；

三角形的端点：点和点，点和点

目标三角形：

底边：线段

因为：点为线段的中点

所以：需要寻找目标三角形第三条边的中点

寻找第三条边的中点的方法：

（1）、确定线段为立体图形中哪一个平行四边形的对角线（为底面的对角线）

（2）、连接平行四边形的两条对角线交于一点，该点为第三条边的中点（根据平行四边形对角线互相平分得到）

本题需要连接平行四边形的两条对角线和交于点，点为线段的中点

中位线：线段

底边：线段

中位线平行于底边：，为直线与平面平行中的直线，为平面上的一条直线（在平面，为和的交点，在上）可以证明直线平面。

【证明过程】

辅助线部分：连接平行四边形的两条对角线和交于点

证明部分：平行四边形点为线段的中点，点为线段的中点为的中位线

，平面平面。

【题目模型二】

已知：在三棱柱中：点为线段的中点。

证明：直线平面。

【推理过程】确定目标三角形（有中位线的三角形）

（1）、点为线段的中点点和点为目标三角形的两个端点

（2）、证明：直线平面

因为：中位线底边直线平面；所以：直线为中位线或者底边；

因为：中位线为两个中点的连线，点为线段的中点；所以：中位线名称为或者；

因为：直线中并没有点；所以：直线并不是中位线而是底边；

因为：直线为目标三角形的底边；所以：点和点为目标三角形的另外两个端点；

三角形的端点：点和点，点和点

目标三角形：

底边：线段

因为：点为线段的中点

所以：需要寻找目标三角形第三条边的中点

寻找第三条边的中点的方法：

（1）、确定线段为立体图形中哪一个平行四边形的对角线（为柱体侧面的对角线）

（2）、连接平行四边形的两条对角线交于一点，该点为第三条边的中点（根据平行四边形对角线互相平分得到）

本题需要连接平行四边形的两条对角线和交于点，点为线段的中点

中位线：线段

底边：线段

中位线平行于底边：，为直线与平面平行中的直线，为平面上的一条直线（在平面，为和的交点，在上）可以证明直线平面。

【证明过程】

辅助线部分：连接平行四边形的两条对角线和交于点，连接

证明部分：平行四边形点为线段的中点，点为线段的中点为的中位线

，平面平面。

【三角形自现原则二的相关例题】

【例题一】：【2014年全国高考数学新课标Ⅱ卷】如下图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点。

（Ⅰ）证明：平面

【推导过程】：确定目标三角形

（1）、点为线段的中点点和点为目标三角形的两个端点

（2）、证明：直线平面

因为：中位线底边直线平面；所以：直线为中位线或者底边；

因为：中位线为两个中点的连线，点为线段的中点；所以：中位线名称为或者；

因为：直线中并没有点；所以：直线并不是中位线而是底边；

因为：直线为目标三角形的底边；所以：点和点为目标三角形的另外两个端点；

三角形的端点：点和点，点和点

目标三角形：

底边：线段

因为：点为线段的中点

所以：需要寻找目标三角形第三条边的中点

寻找第三条边的中点的方法：

（1）、确定线段为立体图形中哪一个平行四边形的对角线（为底面矩形的对角线）

（2）、连接平行四边形的两条对角线交于一点，该点为第三条边的中点（根据平行四边形对角线互相平分得到）

本题需要连接矩形的两条对角线和交于点，点为线段的中点

中位线：线段

底边：线段

中位线平行于底边：，为直线与平面平行中的直线，为平面上的一条直线（在平面，为和的交点，在上）可以证明直线平面。

【证明过程】：

辅助线过程：连接矩形的两条对角线和相交于点，连接

证明过程：四边形为矩形点为的中点，点为的中点为的中位线

，平面平面。

【例题二】：【2013年全国高考数学新课标Ⅱ卷】如图，直棱柱中，分别为的中点，。

（Ⅰ）证明：平面

【推导过程】：确定目标三角形（有中位线的三角形）

（1）、点为线段的中点点和点为目标三角形的两个端点

（2）、证明：直线平面

因为：中位线底边直线平面；所以：直线为中位线或者底边；

因为：中位线为两个中点的连线，点为线段的中点；所以：中位线名称为或者；

因为：直线中并没有点；所以：直线并不是中位线而是底边；

因为：直线为目标三角形的底边；所以：点和点为目标三角形的另外两个端点；

三角形的端点：点和点，点和点

目标三角形：

底边：线段

因为：点为线段的中点

所以：需要寻找目标三角形第三条边的中点

寻找第三条边的中点的方法：

（1）、确定线段为立体图形中哪一个平行四边形的对角线（为柱体侧面的对角线）

（2）、连接平行四边形的两条对角线交于一点，该点为第三条边的中点（根据平行四边形对角线互相平分得到）

本题需要连接平行四边形的两条对角线和交于点，点为线段的中点

中位线：线段

底边：线段

中位线平行于底边：，为直线与平面平行中的直线，为平面上的一条直线（在平面，为和的交点，在上）可以证明直线平面。

【证明过程】：

辅助线过程：连接平行四边形的两条对角和相交于点，连接。

证明过程：四边形为平行四边形点为线段的中点，点为线段的中点

为的中位线，平面平面。

【跟踪训练】

【跟踪训练一】：如下图所示，在四棱锥中，点为的中点，底面为一个平行四边形。

证明：面

【跟踪训练二】：【2011年全国高考数学天津卷】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点。

（Ⅰ）已知：为的中点；证明：平面。

【跟踪训练参考答案】

【跟踪训练一】：连接线段和线段相交于点，连接。

因为：底面为平行四边形；所以：点为线段的中点。

因为：点为线段的中点，点为线段的中点；所以：线段为的中位线。

因为：线段为的中位线，线段为的底边；所以：。

因为：，面；所以：面。

【跟踪训练二】：连接线段和线段相交于点，连接。

因为：底面为平行四边形；所以：点为线段的中点。

因为：点为线段的中点，点为线段的中点；所以：线段为的中位线。

因为：线段为的中位线，线段为的底边；所以：。

因为：，平面；所以：平面。