灵机一动 | 第325期 方框填数

灵机一动

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

本期问题来了

NO. 325

方框填数

把数2～9不重复地填入式式的方框内，使式子成立，问有几种方法。

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上期问题回顾

NO. 324

是否存在质数？

数列381，3811，38111，381111，……是否存在质数？

分析与解答

答案：不存在质数。

利用分解质因数工具将数列前9个数分解如下：

381=3×127

3811=37×103

38111=23×1657

381111=3×127037

3811111=17×37×73×83

38111111=233×163567

381111111=3×3×42345679

3811111111=37×113×613×1487

38111111111=2333×31×526957

通过观察分析发现，数列中的数的整除性与1的个数有关，并且呈周期性规律。如果用an表示这个数列，那么n恰好是a_n中1的个数。我们作如下猜想：

①当n=3k+1(k=0,1,2,…)时，3 | a_n；

②当n=3k+2(k=0,1,2,…)时，37 | a_n；

③当n=3k(k=1,2,3,…)时，233…3 | a_n，其中有k个3。

下面一一来证明。

①当n=3k+1(k=0,1,2,…)时。

a_n的各位数字之和为 3+8+3k+1=3k+12 是3的倍数，所以 a_n 也是3的倍数。

②当n=3k+2(k=0,1,2,…)时。

由于3811=37×103，111=37×3，即 3811和111都能被37整除。所以 a_n 也能被37整除。

③当n=3k(k=1,2,3,…)时。

（注：以上省加略号中9和3的个数为k）

综上可知，数列中不存在质数。