(2017·攀枝花)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3). (1)求抛物线的解析式; (2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE+EF的最大值. (3)点D为抛物线对称轴上一点. ①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,求点D的坐标; ②若△BCD是锐角三角形,求点D的纵坐标的取值范围. 【图文解析】 (1)简析:将点B(3,0)、C(0,3)代入抛物线的解析式y=x2+bx+c,即可得到关于b、c的二元一次方程组,解得b=-4,c=3,所以抛物线的解析式为y=x2-4x+3; (2)条件第一句,点P在x轴下方的抛物线上,需注意,点P横坐标的取值范围(不妨设其横坐标为n),则1≤n≤3,P(n,n2-4n+3); 过点P的直线y=x+m,一次函数一次项系数为1,条件反射——该直线与坐标轴夹角为45°;另一方面,直线BC,易求其解析式为y=-x+3,同时,注意B、C两点到原点O的距离都为3,即有△OBC为等腰直角三角形,∠OBC=45°(一次函数一次项系数为-1时,该函数图象与坐标轴夹角为45°),特殊k值的特殊夹角,常常有出其不意的作用. 要求PE+EF的最大值,先考虑能否将PE、EF连成一条线段,而非如图中所示有重叠部分,常有思路,将其中一段,延长,截取另一段长度与其相等. 想到∠FCE=45°,CB⊥EF,过C作CG⊥y轴交FE延长线于G,则易证△GCF为等腰直角三角形,即可证EF=EG,∴PE+EF=PE+EG=PG. 【反思】 如何利用等腰直角三角形的特性进行边长的转换,是此题能够简便解决的关键. (3)点D为抛物线上一点,可设D(2,t). ①△BCD是以BC为直角边的直角三角形,考虑辅助圆,直径所对的圆周角是90°,D在以BD中点I为圆心,BD为直径的圆上. ②若D点在D1D2间,则∠BDC为钝角或平角,△BCD不是锐角三角形,故D点应在D1上方或D2下方. 另一方面,∠DCB、∠DBC也应为锐角,当D在D1上方时,∠DBC必为锐角,只需保证∠DCB<90°;当D在D2下方时,∠DCB必为锐角,只需保证∠DBC<90°. |
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