一、测量旗杆的高度
【问题】如何测量旗杆的高度？
图1
有一个笑话是这样的：一群数学家在丈量一根旗杆的高度，他们只有一根皮尺，不好固定在旗杆上，因为皮尺总是落下来。
一位物理学家路过，拔出旗杆，很容易就量出了数据。 他离开后，一位数学家对另一位说："物理学家总是这样，我们要的是高度，他却给我们长度！"其实，不拔出旗杆，数学家还是有很多办法来测量旗杆高度的。试举一例：
如图2，利用阳光下的影子来测量旗杆的高度.
图2
操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．
点拨：把太阳的光线看成是平行的．
图3
∵太阳的光线是平行的，∴AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD，
∵人与旗杆 是垂直于地面的，∴∠ABE＝∠CDB=90°，
∴△ABE∽△CBD
∴
即CD=
因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了．
【练习】运用三角形相似的知识，请你设计一个方案测量一条河流的宽度AB（画出示意图，并简要说明理由）
【分析】先在岸上选取一点E，再选取一点C，使在点C处能够通过E看到点A，过C作CD⊥BE，垂足为D，测量出BE、DE、CD的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式即可求出河流的宽度AB．
图4
【解答】解：如图4，测量出BE、DE、CD的长度分别为a、b、c，根据相似三角形对应边成比例
即
所以 ．
二、锐角的正切值
较真君来了，如果在河边没有空地，怎么办？
答案是，在纸上做一个和Rt△ABE相似的三角形Rt△CDE（条件：∠CED＝∠AEB）.
图5
∵∠AEB＝∠CED，∠ABE＝∠CDB=90°（已做），
∴△ABE∽△CDE
∴
即CD=
实际上，我们在纸上重点研究Rt△CDE 中边CD与DE的比值，知道，就知道。那么测出BE，就求出AB了。
【问题】无论直角三角形的锐角为何值，它的对边与邻边的比值总是固定不变的吗？
图6
在直角三角形中，一个的锐角的对边与邻边的比值总是固定不变的。
在Rt△ABC中，我们观察到锐角A越大，锐角A的对边与邻边的比值也越大。锐角A的大小、锐角A的对边与邻边的比值，两者有什么关系呢？如果∠A=30°，锐角A的对边BC与邻边AC的比值是多少呢？∠A=45°呢？∠A=60°呢？
图7
【定义】在Rt△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA．若把∠A的对边BC记作a，邻边AC记作b，斜边AB记作c，则
图8
∠A取不同的角度时，∠A不同的正切值（tanA的值）：
tan1°=0.017455064928217585
tan2°=0.03492076949174773
tan3°=0.052407779283041196
tan4°=0.06992681194351041
tan5°=0.08748866352592401 tan6°=0.10510423526567646
tan7°=0.1227845609029046 tan8°=0.14054083470239145
tan9°=0.15838444032453627
tan10°=0.17632698070846497
tan11°=0.19438030913771848 tan12°=0.2125565616700221
tan13°=0.2308681911255631 tan14°=0.24932800284318068
tan15°=0.2679491924311227
tan16°=0.2867453857588079
tan17°=0.30573068145866033 tan18°=0.3249196962329063
tan19°=0.34432761328966527 tan20°=0.36397023426620234
tan21°=0.3838640350354158
tan22°=0.4040262258351568
tan23°=0.4244748162096047 tan24°=0.4452286853085361
tan25°=0.4663076581549986
tan26°=0.4877325885658614
tan27°=0.5095254494944288
tan28°=0.5317094316614788
tan29°=0.554309051452769
tan30°=0.5773502691896257
tan31°=0.6008606190275604 tan32°=0.6248693519093275
tan33°=0.6494075931975104
tan34°=0.6745085168424265
tan35°=0.7002075382097097 tan36°=0.7265425280053609
tan37°=0.7535540501027942 tan38°=0.7812856265067174
tan39°=0.8097840331950072
tan40°=0.8390996311772799
tan41°=0.8692867378162267 tan42°=0.9004040442978399
tan43°=0.9325150861376618 tan44°=0.9656887748070739
tan45°=1
tan46°=1.0355303137905693
tan47°=1.0723687100246826 tan48°=1.1106125148291927
tan49°=1.1503684072210092 tan50°=1.19175359259421
tan51°=1.234897156535051 tan52°=1.2799416321930785
tan53°=1.3270448216204098 tan54°=1.3763819204711733
tan55°=1.4281480067421144
tan56°=1.4825609685127403
tan57°=1.5398649638145827
tan58°=1.6003345290410506
tan59°=1.6642794823505173 tan60°=1.7320508075688767
tan61°=1.8040477552714235 tan62°=1.8807264653463318
tan63°=1.9626105055051503
tan64°=2.050303841579296
tan65°=2.1445069205095586 tan66°=2.246036773904215
tan67°=2.355852365823753 tan68°=2.4750868534162946
tan69°=2.6050890646938023
tan70°=2.7474774194546216
tan71°=2.904210877675822 tan72°=3.0776835371752526
tan73°=3.2708526184841404 tan74°=3.4874144438409087
tan75°=3.7320508075688776 tan76°=4.0107809335358455
tan77°=4.331475874284153 tan78°=4.704630109478456
tan79°=5.144554015970307 tan80°=5.671281819617707
tan81°=6.313751514675041
tan82°=7.115369722384207
tan83°=8.144346427974593 tan84°=9.514364454222587
tan85°=11.43005230276132 tan86°=14.300666256711942
tan87°=19.08113668772816
tan88°=28.636253282915515
tan89°=57.289961630759144 tan90°=(无限大)
如何求tan53°49′的值呢？上面的表中查不到呀！古代的数学家把一个锐角的三角函数值（包括正切值）做成了不同的三角函数值表。知道一个锐角的的角度，可以根据《锐角的正切表》查出对应的正切值。
下面是我在中学就读时用过的数学用表：
现在已经用计算器或手机电脑中的计算器来计算三角函数值了。《中学数学用表》已经很少见到了，具体查法就不讲了。不同的计算器的用法不同，自己用时请阅读使用说明书，正确使用。
【例1】如图9所示，（1）求出Rt△ABC中的tanA的值．（2）求出∠A的度数。
图8
我使用的是一个网页上的计算器：
图9
在（1）中，计算tanA时按键依次为：
三、锐角的六个三角函数值
我们所学的基本的锐角三角函数包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
图10
可以看出：tanA ·cotA＝1，sinA
·cscA＝1，cosA ·secA＝1.在中学时代我们重点研究sinA(正弦)、cosA(余弦)、tanA(余弦)这三类三角函数。
Rt△ABC中，若把∠A的对边BC记作a，邻边AC记作b，斜边AB记作c，则：
【例2】如图8，求出Rt△ABC中的sinA、sinB、和cosA、cosB的值．
图8
理解一个锐角的正弦、余弦、正切值的唯一性，是理解三角函数的核心.
锐角的正弦、余弦、正切值是这样规定的：当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当 确定时，包含 的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：
∽ ∽ ∽ ……因此，由于相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.
这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述3种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.
四、特殊角的正弦、余弦、正切值
特殊角的正弦、余弦值、正切值既容易导出，也便于记忆，应当熟悉掌握它们.
五、高手进阶
【思考1】当∠A为锐角时，sinA、cosA、tanA的值会在什么范围内？
【结论】若∠A为锐角，则0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA ＞0.
【思考2】请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下，sin20°大概在什么范围内，cos50°呢？
【结论】锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小．
当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小；当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大．
【思考3】Rt△ABC的两锐角∠A、∠B，sinA与cosB的值相等吗？cosA与sinB的值相等吗？为什么？
【结论】Rt△ABC的两锐角∠A、∠B，sinA＝cosB，cosA＝sinB．
【思考4】在高中，我们将学习同角三角函数的基本关系式。
图11
记得完成课本中的练习和复习题。
六、综合训练
1.在 中， ，求 的值。
分析：利用余弦函数的定义求解。
解：如图，在 中， ∴不妨设 ，由勾股定理可求，
为所求。
说明：已知锐角 的一个三角函数值，求角 的其余三角函数值，这类题目应熟练掌握。
2.在Rt 中， ，如果 ，则 等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：如图，在Rt 中，设 ，则 。
3.在 中，若 ， ， 都是锐角，则 的度数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
分析：此例是非负数的性质结合正、余弦函数知识应用的问题。在 中，要求 的度数，应先确定 、 的度数。
解：
，
即 ， 。
又 ， ，
， ，
，
，故应选（C）。
说明：已知锐角α的三角函数值，求角α 的值，这类题目也应熟练掌握，此类题目能很好的训练学生的逆向思维，同时也是以后高中学习解三角方程的基础。
4. 在Rt 中， ，垂足为 ，求AB的长和 的值。
解：如图，
∽ ，
或 （舍去）。
由勾股定理，得 。
。
说明：利用三角形相似找出本题的解题思想，因此，对学过知识要灵活运用。
5.在 ， ，斜边 ，两直角边的长 是关于 的一元二次方程 的两个根，求 较小锐角的正弦值。
解： 是方程 的两个根，
，
在 ，由勾股定理得
而 ， ，
即
解关于 的方程，得 ，
是 的两条直角边的长，
因此 不合题意，舍去。
当 时，原方程为
解这个方程，得 ， 。
不妨设 ，则
较小锐角的正弦值为 。
七、人教版教材及教学中的情况
人教版教材中，通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出求水管最顶端离地面高度的问题。第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题．同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的．这样为引进本章的重要内容——锐角三角函数作了十分必要的准备．
人教版教材教学中，一般由教师给出定义以含30°的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量，并引导学生得出规律： ，再进一步对含45°的三角板进行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到 ,这时，应当即给出 的正弦的定义及符号，即 ，再对照图形，分别用a、b、c表示 、 、 的对边，得出 及 ， 就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义sinA（正弦），使学生建立起锐角三角函数的概念.
而本案例中，从测旗杆的高度这一问题引入，学生便于体会三角函数值与边的比值有关，而与三角形的大小无关。这样做，有助于高中三角函数的概念的形成。
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