中考加油 | 每日一道中考题，助力中考得高分（53）

数姐说：

今天带来一道函数的综合应用问题~

22．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

先自己思考

本题考点

二次函数综合题．

题目分析

（1）根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；

（2）易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得△ABC的面积，即可解题；

（3）作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF，这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离，因此若设设E（x，0），则可用x来表示△APC的面积，得到关于x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题．

题目解析

解：（1）设此函数的解析式为y=a（x+h）²+k，

∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4），

∴y=a（x+2）²﹣4，

又∵函数图象经过点A（﹣6，0），

∴0=a（﹣6+2）²﹣4

解得a=，

∴此函数的解析式为y=（x+2）²﹣4，即y=x²+x﹣3；

（2）∵点C是函数y=x²+x﹣3的图象与y轴的交点，

∴点C的坐标是（0，﹣3），

又当y=0时，有y=x²+x﹣3=0，

解得x₁=﹣6，x₂=2，

∴点B的坐标是（2，0），

则S_△ABC=|AB|·|OC|=×8×3=12；

（3）假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．

设E（x，0），则P（x， x²+x﹣3），

设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵直线AC过点A（﹣6，0），C（0，﹣3），

∴，

解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，

∴点F的坐标为F（x，﹣ x﹣3），

则|PF|=﹣x﹣3﹣（x²+x﹣3）=﹣x²﹣x，

∴S_△APC=S_△APF+S_△CPF

=|PF|·|AE|+|PF|·|OE|

=|PF|·|OA|=（﹣x²﹣x）×6=﹣x²﹣x=﹣（x+3）²+，

∴当x=﹣3时，S_△APC有最大值，

此时点P的坐标是P（﹣3，﹣）．

本题点评

本题考查函数的综合应用