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原创 2017-05-12 高邮赞化 段广猛 广猛文摘 广猛文摘
不定期分享一些本人原创文章、说题短文或者专家系列讲座，主要对象针对初中学生，尤其是初三学生，对于解题研究展开系列探究！ 本文将对一道偶像王特原创题的解法进行深入探究，此题内涵丰富，其解法涉及各种转化策略、改斜归正策略、面积处理、相切处理、垂直处理、相似处理、等腰处理、导角导边、妙构巧设等各种常见的解题，实属一个宝库，不亏为特级大牛，让人敬仰！         这是一步典型的“斜化直”策略，即要想求“斜线段”PQ的最大值，只要求出“直线段”PM的最大值即可； 而PM的最大值问题属于学生经常做到的母题，方法一中已经有所涉及，不再赘述； 其实这里的转化还有好多变式，具体详见本人作品《广猛说题系列之一道母题引发的若干子题》，此文中就是由这道母题，采取一系列转化策略，包括“斜化直”处理，引出了9道“子题”，而所有的“子题”最终都可以转化为这道“母题”！ 途径二（从面积的角度看问题，面积处理）： 方法三（利用面积转化法，面积处理之宽高法）： 如图1-2所示，连接BP，将要求的目标线段PQ看成是△BCP的高，其底边BC为定长，要使高PQ最大，只要使△BCP的面积最大即可，顺利将“一维”的线段问题转化为了“二维”的面积问题，这个转化具有“划时代的意义”； 而要求△BCP的面积最大值问题，方法之多让人有目不暇接之感，先提高所谓的“宽高公式法”；   但方法二借助的是“相似比或三角比”转化；而方法三却是通过面积法转化； 两者虽殊途同归，但思想方法上其实还是略有不同的！ 方法四（利用面积转化法，面积处理之矩形框图大法）： 如图1-4所示，连接BP，同理将目标线段PQ的最大值问题先转化为△BCP面积的最大值问题，顺利将“一维”问题转化为“二维”问题，这个转化具有“划时代的意义”； 在网格里或者平面直角坐标系里（这两者其实本质是相通的），求格点多边形有个通性解法，与上面的“割法”相得益彰，那就是矩形框图大法，将所求三角形补成矩形或梯形等，再用面积减法求解；  值得一提的是，随着点P在第一象限内的运动，还有可能出现如图1-5所示的情形，依然通过目标△BCP的相关顶点作系列“水平—竖直辅助线”，再通过“面积减法”列面积关于t的函数关系式，在求其最值即可； 理论上，下面的两种情况都要讨论，所以这种面积题不太提倡使用“矩形框图大法”，而且此法的计算量可能略微大了些，尤其还要主要坐标与边长的转化，符号可千万要关注！ 这里之所以提及此法，想表达的是与方法三相辅相成，构成了求不规则图形面积的两大基本策略，那就是“割—加”、“补—减”，即所谓“割补大法”！ 关于△BCP的面积最大值问题，其实也可以通过直线与抛物线“相切”求交点问题来解决，这也就是下面的第三条途径； 途径三（从平移的角度看问题，相切处理）： 方法六（利用平移思想，结合“相切处理”，通过求出“切点”来求其最值）： 如图1-9所示，过点P作PQ∥BC，则当直线PQ与该抛物线有且只有一个公共点时，此时可称直线PQ与抛物线相切，则点P到边BC的距离最大，当然也是△BCP的面积达到最大时； 值得一提的是，最后转化成的问题又变为了求定点P到定直线BC的距离问题，这个问题的通解通法详见本人作品《求一个定点关于一条定直线的对称点模型介绍》！ 下面解决最后一个问题，很明显这是一个相似三角形的存在性问题，本人作品《广猛说题系列之相似三角形存在性问题的通解通法》已对此种题型进行过专门研究，请查阅； 友情提醒：上面的方程看似复杂，实际上是一个纸老虎，只要两边同时乘以就没有根号、也没有分母了，另外常数项都可以抵消的，非常简单，请再次强化自己的计算能力与巧解意识； 值得一提的是，情形二与情形一相比仅仅就是颠倒了QC与QP的位置，其他一律保持不变，这就是相似存在性问题的解法精髓所在，请体悟！ 而且还有个有趣的现象，情形一中求出的点P恰好与点C对称，情形二中求出的点P恰好是已知抛物线的顶点，这是巧合还是必然呢？ 方法二（按角分类，“导角处理”）： 从角的角度来分析此相似三角形存在性问题，确定的△ABC中∠ACB为直角，而要寻找的△CPQ中也已经确定∠PQC为直角，这两个角已经相等，即已经有一组对应角相等了； 要想使△CPQ与△ABC相似，从角的角度来看，只要再有一组对应角相等即可，但因为不确定对应关系，故要分两种情况讨论如下； 情形一：如图2-2所示，当∠1=∠2时，有△CPQ∽△CBA且CP∥AB； 由抛物线的对称性知：点C与点P对称，口算得知点P的坐标为（3，2）； 回头看，前文说的这个巧合并非偶然，而是必然； 情形二：如图2-3所示，当∠3=∠2时，有△CPQ∽△ABC； 如图2-4所示，“导角”易得∠3=∠4（射影相似型），故∠4=∠2，即CB平分∠OCP； 用“确定性”来分析问题，∠4是确定的，∠2也随之确定，即CP这条直线是确定的，点P也随之确定，既然是确定的，肯定是可解的，下面提供几种方式求确定的点P的坐标； 方式一（利用求交点坐标）： 要求确定的直线CP解析式，只需要两个点的坐标，已经有一个已知点C（0，2），只需要再找出一点即可； 理论上，在y轴上随便取一个确定的点，将之关于直线CB对称，由∠4=∠2知其对称点一定落在直线CP上，只需求出这个对称点的坐标即可； 这个模型在本人作品《求一个定点关于一条定直线的对称点模型介绍》中已有所介绍，只要借助“斜化直—改斜归正”，即可求出此对称点的坐标； 既然可随便选取，不妨挑现成的原点O，如图2-5所示，作出原点O关于直线CB的对称点O’，则点O’一定在所求直线CP上，只要求出点O’的坐标，问题即可迎刃而解； 值得一提的是，上面的方程组必有一解为x=0，因为从图中已确定点C是其中一个交点，因而这种方程组的求解是极其简单的，同学们首先要从思想上“藐视”这种计算，但绝不是轻视额！ 方式二（利用设坐标法）： 如图2-6所示，由∠4=∠2知：目标点P关于直线CB的对称点P’一定会落在y轴上； 接下来，利用这个特殊性可以采取设坐标法求解计算，具体的过程跟方式一如出一辙； 另外，这里既可以先设出抛物线上点P的坐标，再利用“斜化直策略”去表示出点P’的坐标，利用点P’落在y轴上，即其横坐标为0，列方程求解即可； 也可以反其道而行，先设出y轴上的点P’的坐标，再利用“斜化直策略”去表示出点P的坐标，利用点P在已知抛物线上，代入列方程求解即可； 为了让大家对于这里求对称点坐标时采取的“斜化直策略”再次巩固强化，我们再来一次； 值得一提的是，上面最后列出的方程还是比较复杂的，只有细心、耐心地去计算才能做出来； 笔者一开始先设了较简单的y轴上点P’的坐标，这样前面的推演确实简单了，但最后代入抛物线计算反而麻烦了，原因是代入二次函数解析式时，横坐标是一个一次式而不再单单是t了，导致复杂； 笔者琢磨，如果反过来设元，会不会相对简单呢？哪怕前面的推演稍显麻烦些，只要最终的方程好求解也罢，试试便知，再来一遍： 解题后反思：上面两种解法都涉及求一个点关于一条定直线的对称点坐标，有趣的是，前者先设y轴上的点坐标，形式上较简单，但最后列的方程复杂；而后者虽然一开始设了抛物线上的点坐标，形式上稍显复杂，但最终列的方程却比较简单，二者不可兼得，“设坐标而取方程者也”！ 另外，还有一个小细节值得注意：在图2-6的解法中，“点P’在y轴上”这个已知条件一开始就被拿来就用，因而可以先过点P向y轴上作垂线，然后去求点P的坐标；而在图2-7的解法中，“点P’在y轴上”这个条件是最终用来列方程的，因而不宜先过点P向y轴上作垂线，而是通过同本人作品《求一个定点关于一条定直线的对称点模型介绍》中的处理方式一模一样，通过其他方式表示出点P’的横坐标，再令其为0，解方程即可； 这一点有点类似于实际应用题中的处理方式，选取应用题中的一个条件最终用来列方程，其他条件都用来列代数式，为最终列方程作铺垫，道理一致，请自行体悟！ 方法四（等腰处理）： 如图2-9所示，先过点P作PG⊥x轴于点G，交BC于点M，“导角”易知∠2=∠3=∠4，从而有PC=PM成立，这是典型的“角平分线遇到了平行线生成等腰三角形”之“铁三角结构”； 遇到问题，面临困难，同学们一定要守住心神，多观察，多思考，观察能力是我们从小就一直培养的能力啊，解复杂方程时，一定要先观察方程的结构，再找到求解策略，然后再去计算； 认真观察，不难发现，上面的方程每一项都可以提取出来，将之约去不就变为了一元二次方程了嘛！ 研究的乐趣是无极限的，下面再提供最后一问的一些解法，作为“偏方”，同学们了解、消遣下即可： 解题后反思：“方法总是人想出来的，脑袋越用越聪慧”，希望同学们记住老师的“良言苦语”！拿本题来说，我也不相信方法五自己能想出，慢慢琢磨，方法自现！ 最后再提供一个好方法，笔者想出后都自叹不可思议，看“爱动脑筋的人一定会越来越聪明”！ 好了，到这就结束吧！期待王特的指点迷津，据说还有内涵可挖，我都挖“吐”了！哈哈！ （本文完！） 敬请各位朋友关注本人公众号，若能帮忙宣传，则不胜感激，旨在服务于更多的学子还有更多喜欢钻研的同仁们！ 点赞是一种美德，打赏是一种认可
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