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如图3，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，求CF的长．  简析：这是一道中考真题，原题是选择压轴题，题目给人以眼前一亮之感，小巧精致，下面提供笔者对这道题目的一些思考，先呈上此题最简单的解法； 思考一（利用“折痕垂直平分对应点连线段”得垂直平分，进而识别中位线模型）： 第一步：如图3-1-1，连接BF交AE于点G，由折叠问题中“折痕垂直平分对应点连线段”得BF⊥AE且BG=FG； 第二步：如图3-1-2，由点E为BC的中点知EB=EC，从而有EG是△BCF的中位线，故CF=2EG； 第三步：如图3-1-2，识别到基本图形“射影型”，由射影定理“BE^2=EG*EA”可口算得出EG，进而CF可求，如图3-1-3所示，此题得解；  值得一提的是，关于这里“CF=2EG”结论的得出还有一些思考方式，虽然绕了些弯路，但作为解题后反思的习惯还是很有必要的，至少可以巩固些常见的基本图形的积累： 由折叠问题中边的不变性知EB=EF，从而有EB=EF=EC，识别到基本图形“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一常用的逆命题，可得BF⊥FC，进而有EG∥FC，再加上点E为BC的中点，再结合相似比，也可得到CF=2EG； 另外，若由折叠问题中角的不变性可知∠BEA=∠FEA，还可识别到图3-1-2中有一个“角平分线+等腰三角形→平行”这一“铁三角”结构！所谓“铁三角”结构是指“角平分线、等腰三角形、平行”这三个条件中“知二推一”，即任意两个成立，第三个一定存在，是一个很实用的结论，强烈建议学生认真体悟！   思考三（见等腰，作“三线合一”，造相似，比例口算）： 第一步：如图3-3-1，由题易知EF=EC，即△EFC是等腰三角形，作EG⊥FC于点G，则由等腰三角形“三线合一”知∠FEG=∠CEG且CF=2CG； 第二步：由折叠问题中角的不变性知∠AEB=∠AEF，从而有∠AEG=90°，则易知Rt△ABE∽Rt△EGC，从而Rt△EGC的三边之比为3：4：5； 第三步：利用EC=3，可比例算出CG的长，进而得到CF的长，此题得解；  这一方法也是很不错的，抓住题目中给定一些角相等，利用这些角相等，进行比例分析口算，进而得解；其实笔者想到这种方法的思路还是基于“确定性思想”分析想到的，即要求CF的长，将CF锁定在等腰△EFC中，只要解这个三角形即可，其腰长为3，进而想到求其角（或三角函数值，即比例），进而想到作三线合一解决问题！思路自然流畅，值得同学们用心体会！在很大范围内，“确定性思想”都是我们处理所谓综合性问题的基础性分析方法！ 解题后反思：上面提供了解决题3的三种方法，都很漂亮！法一最简单，利用“折痕垂直平分对应点连线段”得垂直平分，进而识别中位线模型，借助射影定理口算答案；法二见“斜”直角构造“一线三直角”结构，再利用相似比进行巧设，最后勾股计算，求边长的最重要两大神奇都有涉及，即勾股法或相似法，而且其间构造的“一线三直角”模型应用极其广泛，是中考常考的热点内容；法三中，基于“确定性思想”分析计算，是很大范围内的分析问题的手法，也是最自然的想法，但很多学生都比较容易忽视这种最基础的想法，甚至部分老师可能也未必意识到，然后锁定一个确定的等腰△EFC，利用“三线合一”巧抓相等角，进行比例口算，也极其简单易懂！ 这道中考真题是笔者在qq教研群里见到的，当时就有老师提了一个变式问题：求DF的长！这也是一个难得的、值得深挖的好问题！下面也提供几种思考，甚至最后给出一个一般结论直接口算秒杀！ 思考一（见“斜”直角构造“一线三直角”结构，比例巧设，勾股计算）： 在原题法二构造“一线三直角”模型的基础上，进一步勾股计算即可； 如图3-4-1所示，利用Rt△EFN∽Rt△FAM解出x后，MF、MD均可求，从而锁定最终的Rt△FMD进行勾股计算，问题得解！  也就是说，这里构造“一线三直角”的解题策略既可求出CF，又可求出FD， 是很多直角问题中的通解通法，应引起高度重视！其本质思想其实是“斜化直”思想，亦可趣称为“改斜归正”大法，应用广泛，详见本人相关作品！ 思考二（利用折叠问题中“角平分线+平行线→等腰三角形”这一重要结论，构造等腰三角形，再结合比例分析解三角形）： 第一步：如图3-5-1，延长EF交AD于点M，识别等腰△AEM，从而AM=EM； 第二步：如图3-5-2，设FM=x，则AM=EM=3+x，锁定Rt△AFM利用勾股定理可求出x的值，即FM、AM的长可求，故∠FAM确定，即其三角函数值确定，或者说其所在的直角三角形三边之比确定； 第三步：如图3-5-3，由第二步中∠FAM确定，再结合AF、AD确定，由“SAS”知目标FD所在的△ADF是确定的，既然是确定的，肯定是可解的！而且就利用判定的方法“SAS”进行求解，这就是吾所谓的“基于确定性思想的因果关系分析法”，即抓住∠FAM（∠FAD）这个“特殊角”，过点F作FG⊥AD于点G，利用比例结合AF=4，口算出FG、AG的长，进而DG可求，最后在Rt△FGD中利用勾股定理计算FD的长，问题得解；  上面解法中涉及的“基于确定性思想的因果关系分析法”及比例分析口算法，都是同学们分析问题、解决问题的重要手段，值得认真推敲，并能熟练应用！ 值得一提的是，要想确定∠FAM，只需求出AM或FM的长后锁定Rt△AFM即可；而AM的长还可以借助上面第一步构造的△AEM，比例口算得出，仍然是基于“确定性思想”的考虑，如图3-5-6所示，添加等腰问题中最重要的辅助线“三线合一”，再抓住确定的∠EAM（等于∠AEB，其对应比例为3：4：5），比例口算AM，从而确定∠FAM，下略！  上面两种思考方式是一些折叠问题或者说综合问题中常见的解题策略，下面再提供此变式“最牛解法”，这一招也是“学自于群，学自于于（常州于新华特级大师）”，后面也还会有于特的精彩“语录”，我只是一个勤劳的“搬运工”而已！ 上面的变式问题，本质上就是图3-6-1中的“矩形问题”： 矩形内部有一个点F，且点F到此矩形三个顶点的距离已知，求点F到第四个顶点的距离. 关于这个“矩形问题”，“高观点”视角下，一些大师直接秒杀，他们是如何做到的呢？原来，他们的法宝是一个有趣的结论，即FA^2+FC^2=FB^2+FD^2，知道这个结论可不就“秒”了嘛！ 下面重点讲一讲这个结论的由来，其实也没有什么高深的知识，就是“四次勾股定理”，而且这个方法我们还在曾经遇到过的中考真题“垂美四边形”中使用过，可以说手法一模一样，下文也会提及，便于大家类比、理解、记忆！ 第一步：如图3-6-2，过题目涉及的关键点F作“水平—竖直”辅助线MN、PQ，这一步依然是“斜化直”思想之“改斜归正”大法的操作应用，设FM=a，FN=b，FP=c，FQ=d，这里的“设元”为接下来的计算说理奠定基础“设施”； 第二步：在图3-6-2中的两个阴影直角三角形中，用两次勾股定理后再相加可得：FA^2+FC^2=a^2+b^2+c^2+d^2； 第三步：在图3-6-3中的两个阴影直角三角形中，再用两次勾股定理后再相加可得：FB^2+FD^2=a^2+b^2+c^2+d^2；  从而有一般结论FA^2+FC^2=FB^2+FD^2成立，从而问题得“秒”！ 值得一提的是，这里的点F可以是矩形ABCD内部的任意一点！ 其实点F不光光可以是矩形ABCD内部的任意一点，甚至于可以是矩形所在平面内的任意一点，上面的结论依然成立！ 当点F落在了矩形ABCD的某条边上或者其所在的直线上时，画图即可解，不再赘述！ 下面再谈一谈点F落在矩形外部且不在任意边所在的直线上的一般情况： 第一步：如图3-7-1，先画出符合题意的图形，锁定四个目标线段； 第二步：过题目涉及的关键点F作“水平—竖直”辅助线MN、PQ，这一步依然是“斜化直”思想之“改斜归正”大法的操作应用，设FM=a，FN=b，FP=c，FQ=d，这里的“设元”为接下来的计算说理奠定基础“设施”； 在图3-7-2中的两个阴影直角三角形中，用两次勾股定理后再相加可得：FA^2+FC^2=a^2+b^2+c^2+d^2； 第三步：在图3-7-3中的两个阴影直角三角形中，再用两次勾股定理后再相加可得：FB^2+FD^2=a^2+b^2+c^2+d^2；  从而有一般结论FA^2+FC^2=FB^2+FD^2成立！值得一提的是，这里的点F可以是矩形ABCD外部的任意一点！ 细心的同学会发现，当点F落在矩形外部时的解法与点F落在矩形内部的解法一模一样，从头到尾甚至可以说“连一个字母都没有改变”，包括辅助线的做法，勾股定理使用的直角三角形等，都是一模一样！笔者之所以重复一遍，最重要的目的就是让学生体会此处的“图形变了，方法未变”的意识，认识到方法的“不变统一性”，包括辅助线的做法、证明过程的思路方法等都不变，这是我们解决很多图形变换综合性问题的常用手法，屡试不爽！ 通过上面的证明，我们得出了一个有趣的结论：（同一平面内的）任意一点到矩形两对角线端点的距离的平方和相等；或者说（同一平面内的）任意一点到矩形相对的两个顶点的距离的平方和相等！ 于特精彩语录（笔者靠记忆重述，未必准确）：（同一平面内的）任意一点到矩形任意一条对角线两端点的距离的平方和等于其到矩形四条边所在直线的距离的平方和！ 为什么专门提及上面的精彩语录？我想表达的就是，大师就是大师！于特的总结相比于上面的表述，最大的优势就是能体现出“过程性”，用极其精简的语言凝练地表达出相同的结论，同时还能体现出过程，这真是妙、精、好！ 现在的学生，表达能力可以说是“烂到极点”，笔者甚至在公开课上试验过学生的语言表达能力，真是“差到爆”，这给我们很大的提醒，需要在平时的教学中重视学生语言表达能力的培养！表达同一个意思，如何变成自己的语言，如何精炼化，都值得我们认真思考！于特的魅力就在于此，希望引起同学们及教师的关注与重视！ 下面再看看一个有趣的模型，即“对角线互相垂直的四边形，其对边的平方和相等”！这个模型在同学们曾经做过的中考真题中叫“垂美四边形”，当时也是让同学们探索结论，并用文字语言总结结论，可以说做的“惨不忍睹”，看语言表达多重要啊！ 图3-8-1给出了符合题意的图形； 图3-8-2中，设OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，这里的“设元”为接下来的计算说理奠定了基础“设施”； 在图3-8-2中的两个阴影直角三角形中，用两次勾股定理后再相加可得：AD^2+BC^2=a^2+b^2+c^2+d^2； 在图3-8-3中的两个阴影直角三角形中，再用两次勾股定理后再相加可得：AB^2+CD^2=a^2+b^2+c^2+d^2；  从而有结论AD^2+BC^2=AB^2+CD^2成立，即对角线互相垂直的四边形，其两组对边的平方和相等！ 上述两个有趣的结论及证明方法一模一样，是一次无意中的偶然，还是明明之中的必然呢？同学们若是继续反思、琢磨下去，会发现更有趣的现象，上面两个有趣的结论其实是“一家人”啊！不信你看： 在第一个“矩形性质”的一般性结论证明过程中，当点F落在矩形内部时，如上面的图3-6-2，若是连接QM、MP、PN、NQ，如图3-8-4所示，先识别到四个矩形，利用矩形的对角线相等，可将目标的四条线段啊转化为QM、MP、PN、NQ，再隐去一些不必要的线条，如图3-8-5所示！ 唉，这不变成了第二个所谓“垂美四边形”的一般结论了嘛！两个结论之间的相互转化，无疑再次让我们惊叹于数学的神奇、精妙，回味无限，趣味横生！ 再来最后一道折叠趣题，为突出笔者想表达的方法之精妙处，这里只提供一种方法，其他方法同学们可自行探讨，肯定可以“一题多解”的，而且都是上面已经提及的好方法，也算作一道“作业题”吧！ |
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