高中数学：空间向量坐标运算法

建立适当的空间直角坐标系，将有关向量坐标化是解题的基础，然后通过向量的坐标运算使问题获解。牢固掌握并灵活运用空间向量的直角坐标运算法则，空间向量位置关系的判断（运算法则）是解题的关键。

例1、如图，正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为。

（1）建立适当的坐标系，并写出A、B、A1、C1的坐标；

（2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角。

分析：（1）可建立不同的坐标系，来确定所求点的坐标。（2）取A1B1中点M，将所求的角转化为的夹角。

解法1：（1）以A为坐标原点，AB所在直线为y轴，所在直线为z轴，以过原点且垂直于平面的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图3。

则A（0，0，0）、B（0，a，0）、A1（0，0，）、C1（）

（2）取A1B1的中点M，则M（0，，）

连AM、MC1，得，且＝（0，a，0），＝（0，0，）

由

所以与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角。

因为，

所以

又

于是有

所以所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°

解法2：（1）以线段AB中点O为坐标原点，直线和CO、OB、OM（M为A1B1的中点）分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图示，易得A（0，，0）、B（0，，0），A1（0，）、C1（）。

（2）连C1M、AM，由（0，0，），得＝（），

因为C1M垂直于坐标平面yOz，即垂直于侧面ABB1A1

所以，则∠C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角

因为tan∠C1AM＝

所以∠C1AM＝30°，即AC1与侧面ABB1A1成30°角

说明：点的坐标依赖于坐标系，即选取的坐标系不同，同一点的坐标也不同，但不影响线面之间的位置关系。因此，要选取恰当的坐标系，使有关点的坐标尽可能简单。掌握空间点的坐标的求法是空间坐标运算的难点。

例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，侧棱SA⊥底面AC，SA＝AB＝BC＝a，AD＝2a。

（1）求证：平面SAC⊥平面SCD；

（2）求二面角A—SD—C的大小；

（3）求异面直线SD与AC所成的角；

（4）设E为BD的中点，求SE与平面SAC所成的角。

分析：空间中的三种角都是转化成平面内的角来定义和度量的，这是解答本题的关键。

证明：（1）以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图6。则A（0，0，0）、S（0，0，a）、C（a，a，0）、D（0，2a，0），于是＝（0，0，a），＝（－a，－a，a），＝（－a，a，0）

所以

所以CD⊥SA，CD⊥SC，因而CD⊥平面SAC

因为CD平面SCD

所以平面SAC⊥平面SCD

（2）过A作AF⊥SD，过C作CG⊥SD，则的夹角就是二面角A—SD—C的平面角。易知F（0，），G（0，），则

于是

所以

所以二面角A—SD—C的大小为

（3）因为＝（0，2a，－a），＝（a，a，0）

所以

所以SD与AC所成的角为

（4）因CD⊥平面SAC，则为平面SAC的法向量，＝（－a，a，0）。又E为BD的中点，则E（，a，0）

所以

所以

所以SC与平面SAC所成的角为

说明：在解有关空间角的计算问题时，应按“一作、二证、三计算”的步骤进行。最后写表达式时，必须注意角的取值范围。

例3、如图，在底面是棱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝，点E在PD上，且PE：ED＝2：1，在棱PBC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论。

分析：依题设条件可构造空间直角坐标系，然后用假设法，即假设满足条件的点F存在，证得线性表示即可。

证明：在△ABP中，易证，则PA⊥AB。同理可证PA⊥AD，于是PA⊥平面ABCD。故可以A为原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图7，则A（0，0，0），B（），C（）、D（0，a，0）、P（0，0，a）。作EG//PA交AD于G，由PE：ED＝2：1，得，则E（0，，），所以，＝（），。

设F是PC上的点，（其中0<><>

，）

再设，得

解得

即时，，即当F是PC中点时，共面。

又平面AEC，所以当F是PC中点时BF//平面AEC

说明：本题无明显的建系条件，尚需通过论证寻找垂直关系建系，此为构造建系法。