高中数学：概率统计应用题

概率统计是研究随机现象的数学分支。概率应用题的文字叙述长，数量关系分散，且背景新颖而难以把握。大胆的设定随机变量，区分不同变量的类型，找出它们之间的内在联系，建立相应的数学模型。

有关概率统计的应用问题，其关键就是要弄清楚待解问题的本质：明确已知与待求，找出数学模型；找出已知与待求之间的关系；还要确定解决问题的过程。这是解概率统计应用题所必需的。

一、连续型模型的应用

例1、某地抽样调查，考生的英语成绩（按百分制计算）近似地服从正态分布，平均成绩72分，96分以上的占考生的2.3%，求考生英语成绩在60～84分之间的概率。

分析：这是一个实际问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质是一个“正态分布求连续型随机变量在某一范围内取值的概率”。将题目中的已知条件转化为标准正态分布表达式，对于一般正态分布，取值小于x的概率，这就建立了概率值与函数值的对等关系。

解：设考生的英语成绩为随机变量，则，其中。

由

则英语成绩在60～84分之间的概率为

二、离散型模型的应用

例2、某电器商由多年的经验发现本店出售的电冰箱的台数是一个随机变量，它的分布列，设每售出一台电冰箱，该台冰箱可获利300元，若售不出则囤积在仓库，每台需支付保管费100元/月，问：该电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己的月平均收入最大？

分析：注重对离散型随机变量的数学期望意义的理解，关于离散型随机变量的应用题，关键是找出相关变量之间的关系，而列表是一个比较好的方法，它能清晰地反映出变量之间的联系，有利于解题。在实际问题中有时用期望或方差两个数字特征来反映事件的优劣。找出离散型随机变量月收入与的线性函数关系，用表格形式列出与的相关分布列，把月平均收入最大的实际问题转化为月售电冰箱利润期望值的最大问题。

解：设电器商月初购进的电冰箱台数为x，月收益为，则

是随机变量的函数，其中

	1	…		x		…	12
		…		300x	300x	…	300x
P		…				…

则

所以当或10时，值最大。

答：电器商月初购进9或10台电冰箱时能使自己的月平均收入最大。

三、离散型与连续型兼顾型的应用

例3、已知测量误差（单位：mm），求：必须进行几次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm的概率大于0.9？

分析：本题注重考查了将数字叙述性问题转化为数学符号的能力。对于文字语句过长的题型，初次阅读可能分不清变量类型，但经过分层分类，深挖各种隐含条件，寻求建模的可能。将离散型随机变量测量误差与连续型随机变量测量误差区分开来，题目就转化为多次重复测量中至少有一次测量中该事件发生的概率，其中该事件为“测量的绝对值误差不超过10mm”。

解：设测量中绝对误差不超过10mm的测量次数为，则

由得：

所以

解得：

答：必须进行3次才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm的概率大于0.9。