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本人所在学校十月份月考有一道求最短路径的小题，本是一道很简单的送分题，结果却令人吃惊，A层班有四分之一的学生丢分。公众号一直未更新，本想再偷几天懒，但现在是时候总结一下最短路径问题了。用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系或两点之间线段最短解决问题，即化折为直。常见的类型笔者归纳为五种：即两定一动型，一定两动型，两定两动型，两定滑动型（架桥），三动型等 类型一：两定一动型 【模型介绍】已知直线l同侧有A,B两点，在l上找一点P，使得PA PB最小。 作法：作点A关于直线l的对称点A',连接A'B，与直线l的交点就是点P，线段A'B的长度即为最小值。 验证：如图，AQ BQ=A'Q BQ>A'B 【例1】(五中初三月考)(难度系数☆)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AB=3BE，P是AC上一动点，则PB PE的最小值是__________. 【分析】这是两定一动模型，需要作一个定点关于动点所在直线的对称点，根据本题图形特征，B点关于AC的对称点恰好是C点，连接CE，CE即为所求的最小值。 【答案】10 【例2】(五中初二期中)(难度系数☆)如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（5，5），P是x轴上一动点，当PA PB值最小时，求点P坐标 【分析】这是两定一动模型，作A点关于x轴的对称点A'，A'B与x轴的交点即为P，P点坐标可以用直线解析式或勾股定理求，初三学生也可用相似。 【答案】P（2.5，0） 类型二：一定两动型 【模型介绍】已知，在∠AOB内有一点M，在边OA,OB上分别找点P,Q，使MP MQ PQ最小。
作法：作M关于OA的对称点M‘，关于OB的对称点M''，连接M'M''，交OA于点P，交OB于点Q，此时则MP MP PQ的值最小，最小值即为线段M'M''的长。 验证: 如图，OA上取一点P',OB上取一点Q'，连接M'P',M''Q',则MP' MQ' P'Q'=M'P' M''Q' P'Q'>M'M''(两点之间线段最短) 【例3】(鄞州中考题)(难度系数☆☆)五边形ABCDE中，∠A=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小，则△AMN周长的最小值为____. 【分析】这是一定两动模型，作点A关于BC的对称点A’，关于ED的对称点A''，连接A'A''，交BC于M，交ED于N，此时△AMN的周长最小，最小值即为A'A''的长。解含120°的△AA'A'‘即可求出A'A''。
【答案】2√7。倘若追加一问：此时∠AMN ∠ANM=_____°，你能答对吗？ 【例4】(改编自网络)(难度系数☆☆)如图，点P是四边形ABCD内一点，BP=2，∠ABC=60°，分别在边AB,BC上作出点M,N，使△PMN的周长最小，求这个最小值。
【分析】这是一定两动模型，作点P关于AB的对称点P’，关于BC的对称点P''，连接P'P''，交AB于M,交BC于N，此时△PMN的周长最小。在△BP'P''中，∠P'BP''=120°，BP'=BP=BP''=2，P'P''的长度很容易求。
【答案】2√3 【例5】(北京中考题)(难度系数☆☆☆)如图，在矩形ABCD中，AB=20，AC=10，若在AC,AB上各取一点M,N，求BM MN的最小值。
【分析】这是一定两动型的变异模型，其变化在于：①定点与动点所在的直线在同一直线上，②求的是两条线段和的最小值，而不是周长最小值。要使BM MN的值最小，应设法把折线BM MN拉直(即化折为直)，从而想到用轴对称性质来做。画出点B关于直线AC的对称点B1，则B1N的长就是最小值；又因为N也是动点，所以，当B1N⊥AB时这个值最小，利用勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值，初三的同学也可以用相似或三角函数求解。
【解答】作B点关于AC的对称点B1,再过B1作AB的垂线，垂足为N，与AC的交点为M，此时BM MN的值最小。
类型三：两定两动型 【模型介绍】在∠MON内有两点P,Q，在边OM,ON上分别找点R,S，使得PR RS SQ PQ最小。
作法：作点P关于OM的对称点P',点Q关于ON的对称点Q'，连接P'Q'，与OM,ON的交点就是R,S，此时四边形PRSQ的周长最小。
验证：在OM上取一点R‘，ON上取一点S’，则PR' R'S' QS'=P'R' R'S' S'Q'>P'Q'(两点之间，线段最短)
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