高考数学专题讲解：三角函数（五）

高考数学专题讲解：三角函数（五）

第九部分：三角函数解析式计算

【认识和中的四大参数】

【参数“”】

（1）、参数“”的名称：振幅。振幅为机械振动中最高点和最低点距离平衡位置的距离。

（2）、参数“”的作用：决定三角函数的最大值和最小值。

（3）、参数“”与三角函数最值：；‚。

【参数“”】

（1）、参数“”的名称：角速度。角速度为曲线运动中单位时间内转过的弧度。

（2）、参数“”的作用：决定三角函数的最小正周期。

（3）、参数“”与三角函数最小正周期：

的最小正周期为：；

‚的最小正周期为：；

ƒ的最小正周期为：。

【参数“”】

（1）、参数“”的名称：上下平移量。

（2）、参数“”与上下平移：

当时：函数向上平移个单位；

‚当时：函数向下平移个单位。

【参数“”】

（1）、参数“”的名称：相位。相位指的是三角函数的角度。

（2）、参数“”的名称：初相。初相指的是最初的相位。

【计算“与”的解析式】

【解法设计】：

第一步：根据最值计算振幅和上下平移量。

，‚；

+‚得到：；

-‚得到：；

结论：；。

第二步：计算角速度。

（1）、根据函数图像计算三角函数的最小正周期；

（2）、根据：得到：。

结论：

第三步：计算初相。

根据三角函数的最值计算初相。

应用理论：（1）、当正弦函数的角度等于，时：正弦函数取得最大值；

（2）、当正弦函数的角度等于，时：正弦函数取得最小值；

（3）、当余弦函数的角度等于，时：正弦函数取得最大值；

（4）、当余弦函数的角度等于，时：正弦函数取得最小值。

【计算三角函数解析式的相关例题】

【例题一】：【2016年高考文科数学全国Ⅱ卷第3题】函数的部分图像如图所示，则（      ）

A、       B、       C、       D、

【本题解析】：（1）、，；

（2）、，；

（3）、，；点在图像上

；

当时：。

【本题答案】：

【例题二】：【2015年高考理科数学新课标Ⅰ卷】函数的部分图像如图所示，求的解析式。

【本题解析】：，；

。

【本题答案】：

【例题三】：【2015年高考理科数学陕西卷】如图，某港口一天6时到18时的水深度变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：米）的最大值为（          ）

A、5                        B、6                         C、8                    D、10

【本题解析】：。

【本题答案】：

【例题四】：【2013年高考理科数学四川卷】函数，（，）的部分图像如图所示，则，的值分别是（      ）

A、                     B、                   C、                    D、

【本题解析】：；

；

，。

【本题答案】：

【例题五】：【2016年高考理科数学浙江卷第10题】已知（），则

                        。

【本题解析】：根据三角函数的半角公式得到：

；

根据三角函数的辅助角公式得到：

。

【本题答案】：

【例题六】：【2016年高考理科数学上海卷第13题】设，，若对任意实数都有

，则满足条件的有序实数组的组数为                       。

【本题解析】：

分类讨论：

（1）、当时：；

分类讨论：

当时：，

；

‚当时：；

，

；

，

。

（2）、当时：；

分类讨论：

当时：

，；

，

；

‚当时：

，。

所以：满足条件的有序实数组的组数为。

【本题答案】：满足条件的有序实数组的组数为

第十部分：三角函数的最小正周期计算

【最小正周期解法设计】

【第一组】：（1）、，最小正周期：；

（2）、，最小正周期：；

（3）、，最小正周期：；

【第二组】：（1）、，最小正周期：；

（2）、，最小正周期：；

（3）、，最小正周期：；

【第三组】：（1）、，最小正周期：；

（2）、，最小正周期：；

（3）、，最小正周期：；

【第四组】：（1）、，最小正周期：；

（2）、，最小正周期：；

（3）、，最小正周期：；

【第五组】：（1）、，最小正周期：；

（2）、，最小正周期：；

（3）、，最小正周期：；

【第六组】：（1）、，最小正周期：；

（2）、，最小正周期：；

（3）、，最小正周期：；

【第七组】：（1）、，最小正周期：；

（2）、，最小正周期：；

（3）、，最小正周期：；

【第八组】：（1）、，不是周期函数；

（2）、，最小正周期：；

（3）、，不是周期函数；

【最小正周期的相关例题】

【例题一】：【2017年高考文科数学北京卷】已知函数。

（Ⅰ）的最小正周期；

【本题解析】：（Ⅰ）根据余弦函数的两角差定义得到：

；

根据三角函数的半角公式得到：；

根据三角函数的辅助角公式得到：。

所以：函数的最小正周期：。

【本题答案】：

【例题二】：【2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷】函数的最小正周期为（       ）

A、               B、               C、               D、 

【本题解析】：的最小正周期为：。

【本题答案】：

【例题三】：【2017年高考数学浙江卷】已知函数。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间。

【本题解析】：（Ⅰ）根据三角函数的半角公式得到：，，

。

。

根据三角函数的辅助角公式得到：

。

。

（Ⅱ）；

当时：函数单调递增。

所以：当时：函数单调递增。

【本题答案】：（Ⅰ）；（Ⅱ），当时：函数单调递增。

【例题四】：【2017年高考文科数学山东卷】函数的最小正周期为（       ）

A、             B、             C、             D、

【本题解析】：根据三角函数的辅助角公式得到：

。

【本题答案】：

【例题五】：【2016年高考理科数学山东卷第7题】函数的最小正周期是（       ）

A、               B、               C、               D、

【本题解析】：

。

所以：函数的最小正周期为：。

【本题答案】：

【例题六】：【2016年高考理科数学天津卷第15题】已知函数。

（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；

【本题解析】：（Ⅰ）根据三角函数的诱导公式得到：；

根据三角函数的同角之间的基本关系得到：；

根据三角函数的两角差公式得到：；

。

根据三角函数的半角公式得到：，；

。

所以：函数的最小正周期为：。

【本题答案】：（Ⅰ）

【跟踪训练】

【跟踪训练一】：【2015年高考文科数学安徽卷】已知函数。

（Ⅰ）求的最小正周期；

【本题解析】：

【跟踪训练二】：【2015年高考文科数学北京卷】已知函数。

（Ⅰ）求的最小正周期；

【本题解析】：

【跟踪训练三】：【2015年高考理科数学北京卷】已知函数。

（Ⅰ）求的最小正周期；

【本题解析】：

【跟踪训练四】：【2015年高考理科数学天津卷】已知函数，。

（Ⅰ）求的最小正周期；

【本题解析】：

【跟踪训练五】：【2014年理科理科数学福建卷】已知函数。

（Ⅰ）若，且，求的值；

【本题解析】：

【跟踪训练六】：【2014年高考文科数学福建卷】已知函数。

（Ⅱ）求函数的最小正周期以及单调递增区间。

【本题解析】：

【跟踪训练七】：【2014年高考文科数学天津卷】已知函数（），。在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（         ）

A、                    B、                  C、                   D、

【本题解析】：

【跟踪训练八】：【2014年高考文科数学新课标Ⅰ卷】在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（       ）

A、①②③              B、①③④               C、②④               D、①③

【本题解析】：

【跟踪训练参考答案】

【跟踪训练一】：【2015年高考文科数学安徽卷】已知函数。

（Ⅰ）求的最小正周期；

【本题解析】：（Ⅰ）

。

函数的最小正周期：。

【本题答案】：

【跟踪训练二】：【2015年高考文科数学北京卷】已知函数。

（Ⅰ）求的最小正周期；

【本题解析】（Ⅰ）

。

所以：函数的最小正周期为：。

【本题答案】：

【跟踪训练三】：【2015年高考理科数学北京卷】已知函数。

（Ⅰ）求的最小正周期；

【本题解析】：（Ⅰ）（Ⅰ）

。

函数的最小正周期：。

【本题答案】：

【跟踪训练四】：【2015年高考理科数学天津卷】已知函数，。

（Ⅰ）求的最小正周期；

【本题解析】：

。

函数的最小正周期：。

【本题答案】：

【跟踪训练五】：【2014年理科理科数学福建卷】已知函数。

（Ⅱ）求函数的最小正周期。

【本题解析】：（Ⅱ）

。

函数的最小正周期：。

【本题答案】：

【跟踪训练六】：【2014年高考文科数学福建卷】已知函数。

（Ⅱ）求函数的最小正周期。

【本题解析】：

函数的最小正周期：。

【本题答案】：

【跟踪训练七】：【2014年高考文科数学天津卷】已知函数（），。在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（         ）

A、                    B、                  C、                   D、

【本题解析】：

。

或者

；

交点距离最小值为：；

函数的最小正周期为：。

【本题答案】：

【跟踪训练八】：【2014年高考文科数学新课标Ⅰ卷】在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（       ）

A、①②③              B、①③④               C、②④               D、①③

【本题解析】：最小正周期；

‚最小正周期；

ƒ最小正周期；

④最小正周期。

最小正周期为的为：‚ƒ。

【本题答案】：