高中数学：三角函数的图像和性质归类解析（高考必备）

三角函数是高中数学的主干知识，也是高考重点考查的内容之一，而三角函数的图像和性质更是高考考查的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题。下面就近几年的高考题中考查三角函数的图像和性质的有关问题进行归类解析，以帮助大家更好地学习及掌握这一知识。

考察三角函数最值

三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．

【例题】

【解答】

【评析】考查转化思想以及计算能力,利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．

考察三角函数周期性

求周期的三种方法

①利用周期函数的定义．f（x+T）=f（x）；

②利用公式：y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的最小正周期为2π/|ω|，y=tan（ωx+φ）的最小正周期为π/|ω|；

③利用图象．图象重复的x的长度．

【例题】

【解答】

【评析】用二倍角公式可得f（x）=-cos(4x)/2+1/2，然后用周期公式求出周期即可．

考察三角函数单调性

三角函数的单调性的规律方法

1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．

2．求形如y=Asin（ωx+φ）或y=Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

【例题】

【解答】

【评析】根据正弦函数，余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解

考察三角函数图像变化

函数y=sin x的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤

注意事项：

（1）要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；

（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；

（3）由y=Asin ωx的图像得到y=Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为|φ|/ω，而不是|φ|．

【例题】

【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ=0，

则f（x）=Asin（ωx）

将y=f（x）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．

即g（x）=Asin（ωx/2）

∵g（x）的最小正周期为2π，

若g（π/4)=√2，则g（π/4)=Asin（π/4)=√2A/2=√2,，即A=2，

则f（x）=2sin2x，则f(3π/8)=2sin（2×3π/8)=2sin(3π/4)=2×(√2/2)=√2

故选：C．

【评析】题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A，ω和φ的值，再结合函数变换关系求出g（x）的解析式，结合条件求出A的值，利用代入法进行求解即可。

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