【课程】西南科大网教学院_数学分析09_3.1 连续与间断

3.1   连续与间断 

3.1.1  函数的连续性

   首先，我们引入增量的概念，然后描述连续，并引进连续函数的概念．

   变量的增量：若变量从变到，则称是变量在的一个增量，记为

    定义3.1.1  设在的某邻域内有定义，在任给一个增量，则相应函数值也有增量：

如果时，有，即

 

则 称在点连续．

分析：

故函数在连续也可按如下定义：

    定义3.1.2  设在的某邻域内有定义，如果

则称在点连续．即：如果，有

则称在点连续．

    定义3.1.3  设在的某左(右)半邻域有定义，如果

  

则称在左(右)连续．

使得有

 使得有

        

     定理3.1.1  在连续在既左连续，又右连续．

     注意：与是有一定的区别，因为前者表明：在是有意义的，并且极限值就等于函数值，它在极限描述过程中的完全可以写成，因为时，也有；而后者没有表明：在总是有定义，即使有定义，未必能满足，所以后者定义中的，不能写成．

        例如：的“”叙述，不能写成：

因，意味着时，有；但在处无定义．

       又如：   ，有，它的“”叙述为

有

其中的不能换成，因为对于，，但

．

        定义3.1.4  如果函数在开区间内的每一点都连续，则称在区间连续；如果在开区间连续且在点右连续，在点左连续，则在连续．

由定义可知，多项式函数，有理分式函数，正弦函数，余弦函数在其定义域内连续．

 

3.1.2 函数的间断点

   1. 间断点的概念

      函数在点连续，即有如下三个含义：

        (1) 在点有定义；

        (2) 在的极限存在；

        (3) 处极限值等于函数值．

　　   因而，对于函数，若其中一个条件得不到满足，函数在就不连续．

       定义3.1.5  如果函数y=在不连续，则在是间断的，称是的间断点．

       由定义知：函数的间断点有如下三种情况：

       (1) 在无定义，例如：y=在处

       (2) 在有定义，但极限不存在．例如

　在处有定义，但极限不存在. 

       (3) 存在，且在有定义，但．

 

    2. 间断点的类型

     

  定义3.1.6  左、右极限都存在的间断点，称为第一类间断点，左、右极限存在且相等的间断点称为可去间断点；不是第一类间断点的间断点，即至少有一单边极限不存在的间断点．称为第二类间断点．

 

典型例题：

例3.1.1  判断下列函数在=1的连续性．

(1)            　    (2)      

 

(3)                        (4)   　　　

 

     解：(1)  　

因为       ,  

所以，    

从而，      不存在． 故在=1处不连续．

        (2)  =

因为         ，

而          

故，在=1处不连续．

        (3) 

因为     ，   ，

从而，不存在．故，   在=1不连续．

       (4) 

                  

从而，不存在． 故,  在=1处不连续．

    例3.1.2 求下列函数的间断点，并判断其间断点的类型，若是可去间断点，试修改定义使其连续．

          (1)                        (2)

          (3)              (4)

          (5)                        (6)

　　解  (1)  的第二类间断点．

        (2)  是的第一类间断点，且为可去间断点．补充定义为

从而在处连续．

       (3)  因为

所以  的第二类间断点．

        (4) 

又因  ，所以．

从而，为连续函数

        (5)  因为 ，所以 可去间断点. 补充定义为

=

则，这样在处就连续．    是

的第二类间断点．

        (6)  的第二类间断点．