如何理解多变量函数的极限？

本文是连载中的课程《多变量微积分》中的一课，欢迎同学订阅。

多变量函数的极限是单变量函数极限的扩展，让我们从数列极限的直观开始学习。

1 数列极限的直观

在古希腊的时候，人们就知道可以用等边多边形的面积来逼近圆形的面积：

假设用  来表示内接等边  边形的面积，那么可以用一个数列来描述这个逼近过程：

这个数列的极限就是圆形的面积：

可以通过直角坐标系中的图像来展示该数列极限，可以看到随着  的增加，数列越来越逼近圆形的面积：

2 函数极限的直观

2.1 单变量函数的极限

对于更一般的单变量函数的极限（数列可以看作是定义域为自然数的函数）：

如果  看作，在  的去心邻域内，从左侧或右侧逼近  的点：

那么极限  可以解读为，当  沿着上述的点逼近  时，对应的函数值  也不断逼近  ：

2.2 多变量函数的极限

这种观点是可以推广到多变量函数的极限上去的，比如二元函数的极限：

其中的  可以看作，在  的去心邻域内，从四面八方逼近  的点列：

那么二元函数的极限就是，当  沿着上述的点列逼近  时，对应的函数值  也不断逼近  （下图如果把  画出来就太乱了，不过还是可以看出，沿着这些点，对应的函数值都逼近于同一个值）：

3 一元函数极限的定义

虽然直观看上去极限并不难理解，但由于数学上的原因（这在课程《单变量微积分》中解释过了，这里不再赘述），一元函数极限的严格定义并不简单。

3.1 一元函数极限的严格定义

设函数  在  上有定义。如果存在常数  ，对任意给定的正数  ，总存在正数  ，使得当  满足不等式时（也就是  属于  的去心邻域）：

对应的函数值  都满足不等式：

那么常数  就叫做函数  当  的极限，记作：

这个定义在这里简单解释一下，如果函数  在  点的极限为  ：

那么以  为中心，  为半径构建一个区间 （下图用矩形来表示该区间），必能找到某正数  ，使得去心邻域  内的函数值都在该区间内（蓝色表示区间内的函数曲线，红色表示区间外的函数曲线）：

并且不论  如何缩小，总能找到新的正数  ，使得去心邻域  内的函数值都在该区间内（下面动画展现了先缩小  ，然后寻找  这个过程）：

如果满足上面所说的，那么有：

3.2 回归直观

如果把每次找到的  的边界点保留下来：

沿着这些点列靠近  ，对应的函数值就会不断逼近  ，这又回到了之前我们对极限的直观上了：

4 聚点

二元函数的极限定义和一元函数类似，只是由于二元函数的邻域更复杂，所以需要引入聚点的概念：

如果对于任意给定的  ，点  的去心邻域  内总有平面点集  中的点，那么称点  为  的 聚点 。

比如下面的点  就是一个聚点，随便怎么缩小它的去心领域的半径，去心邻域内总有平面点集  中的点：

定义聚点是为了保证，从  的某去心邻域内的某一点  出发，至少能找到一串完全在  中的点来靠近  ：

也就是说，聚点保证了下面这个极限过程是可行的、是存在的：

5 二元函数的极限

弄清楚聚点之后，下面可以给出二元函数极限的定义了：

设二元函数  的定义域为  ，  是  的聚点。如果存在常数  ，对于任意给定的正数  ，总存在正数  ，使得当点  满足下列条件时：

都有：

成立，那么就称常数  为函数  当  时的极限，记作：

因为这是二元函数的极限，所以也称作 二重极限 。

5.1 与一元函数极限的区别

二重极限和一元函数极限定义相比，最大的区别在于：

在一元函数中，函数的定义域和去心邻域合二为一。而在二元函数中，函数的定义域  和去心邻域  不一定重合，相交部分才是我们关心的：

并且  是  的聚点，这样可以保证无论  多小，去心邻域和定义域  总是有相交部分的（当然也保证了能有一串靠近  的点列）：

剩下的部分就和一元函数极限的定义差不多了。

5.2 二重极限定义的几何意义

假设二元函数  在  有极限  ：

那么以  为中心，  为半径构建一个区间  ，必能找到某正数  ，使得符合下面条件的点：

对应的函数值都在该区间内：

当然，同一元函数的极限相同，随着  的缩小，始终能够找到合适的  ，使得对应的函数值都在  规定的区间内。并且这个过程意味着可以找到一串不断逼近  的点列，沿着这串点列，函数值不断逼近  ，最终可以得到：