【课程】西南科大网教学院_数学分析27_8. 1反常积分的概念和计算

第八章 反常积分

    从定积分的定义知道：定积分的积分区间是有限闭区间，即上、下限都是有限实数．但是，在一些实际问题中，常常遇到积分区间为无限区间，或者被积函数在积分区间上无界的情况，它们已不属于前面所讲的定积分了．因此，我们需要对定积分作如下两种推广，并且我们称定积分的这两种推广形式为反常积分或“广义积分”．

8. 1反常积分的概念和计算

一、无穷区间的反常积分

    定义8.1.1  设函数在无穷区间上有定义，符号    (1)

称为函数在上的广义积分(反常积分)．

    若上都可积，且极限

                                                  (2)

.存在，则称广义积分收敛，该极限值称为在上的积分，表为

       

若上述极限（2）不存在，则称广义积分发散．

    类似地，设在上有定义，符号

                                                    (3)

称为在上的广义积分. 若在上可积，并且极限

                                                 (4)

存在，则称广义积分是收敛的，该极限值称为在区间的广义积分，记为

    若极限（4）不存在，则称广义积分发散．

    如果在上有定义，符号

                         (5)

 

称为在上的广义积分，若广义积分

                                           (6)

都收敛，则称收敛，并称（6）的两个积分的和为在上的积分，表示为：

    若（6）中有一个广义积分发散，则称广义积分发散．

    上述三种广义积分统称为积分区间为无穷的广义积分(反常积分)．

二、无界函数的反常积分（瑕积分）

定义8.1.2  设函数在区间有定义，且，符号

称为在区间的瑕积分，其中点称为的瑕点．

    若可积，且极限

                                                 (7)

存在，则称瑕积分收敛，并记

　　若极限（7）不存在，则称瑕积分发散．

　　类似地，设函数在区间有定义，且，符号

称为在区间的瑕积分，其中点称为的瑕点．

    若可积，且极限

                                           　　　　  (8)

存在，则称瑕积分收敛，否则发散．

　　又设在[除外每一点有定义，且，符号

也称为在的瑕积分．

　　如果两个瑕积分：与都收敛，则称瑕积分收敛，并记

=+

否则，称瑕积分发散．上面三种瑕积分，也称为是被积函数为无界的广义积分．