分析:(1)当CP为等腰三角形的底边时作CP的垂直平分线,交BC于Q,则△CPQ为等腰三角形;当CP为腰时,在BC上截取CQ=CP即可,所以这样的点有两个,分别求出即可; (2)根据题意画出符合条件的三角形即可求出Q的位置,进而求出出相应的CQ的长; (3)过Q作QP⊥BC,交AB于P点,连接CP,则△CPQ为直角三角形,作∠CAB的平分线AO,交BC于O点.作OP1⊥AB于P1点.设CO=t,则OP1=t,CD=2t,OB=4-t.先根据相似三角形△ABC∽△OBP1的性质求得t值,即得到线段CD的长度,再分情况讨论.①Q与点D重合时,以CQ为直径的圆与AB相切,②Q点在线段CD上时(不与C、D重合),0<CQ<3,以CQ为直径的圆与AB相离,③Q点在DB上时(不与D、B重合),3<CQ<4,以CQ为直径的圆与AB有两个交点P2、P3. 解答:解:(1)当CP为等腰三角形的底边时作CP的垂直平分线,交BC于Q, 则腰是CQ=PQ; 此时CQ=
当CP为腰时,在BC上截取CQ=CP, 则腰是CP=CQ′, 此时CQ=CP=
(2)当P是AB的中点时,如图2,若△CPQ与△ABC相似,这时满足条件的点Q有3个, ①当△COQ∽△BCA,时, ∴
∴CQ=
②△PQ′B∽△CAB时, ∴
∵AP=BP=
∴
∴BQ′=
∴CQ′=4-
③△CPQ″∽△BCA时, ∴
∴
∴CQ″=
(3)可能. 过Q作QP⊥BC,交AB于P点,连接CP,则△CPQ为直角三角形,作∠CAB的平分线AO,交BC于O点.作OP1⊥AB于P1点. ∴CO=OP1以O为圆心,OC为半径作⊙O,⊙O与AB相切,切点为P1,与CB的交点为D. 设CO=t,则OP1=t,CD=2t,OB=4-t. 由△ABC∽△OBP1,得
∴
解得:t=1.5, ∴CD=3, ∴当Q与点D重合时,以CQ为直径的圆与AB相切,切点为P1,连CP1、P1Q,△CP1Q为直角三角形,此时共有两个直角三角形, 当Q点在线段CD上时(不与C、D重合),0<CQ<3,CQ为直径的圆与AB相离,此时只有一个直角三角形CQP.(9分) 当Q点在DB上时(不与D、B重合),3<CQ<4,以CQ为直径的圆与AB有两个交点P2、P3.分别连接P2、P3与点C和Q,得直角三角形CQP2和CQP3,此时有三个直角三角形. 点评:本题考查了直角三角形的性质,等腰三角形的判定和性质以及相似三角形的性质和判定,此类题目还是相似与圆的知识的综合运用,难点在第(3)题,解决的根据是三角形相似的性质和直线和圆的三种位置关系.
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