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陈碧文（浙江省宁波市鄞州区正始中学） 教学设计 教学内容解析 本课题来自人教A版选修2—3第一章后的“探究与发现”。杨辉三角蕴含了丰富的数字规律和数学思想方法，所以它是一个很有价值的探究性课题。 杨辉三角是一个特殊的数阵。探究杨辉三角中的数字规律,有利于巩固学习二项式系数的性质，并对进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形有重要的作用。对杨辉三角的研究，可以让学生通过总结，得到研究一般数阵的方法。 同时通过欣赏分形及斐波那契数列等有趣的数学内容，学生由此发现数学之美，产生对数学的学习兴趣。另外，通过组织不同形式的探究，可以让学生学会观察与归纳等探究方法，体验数学当中发现和创造的历程，培养创新精神，也有利于学生理解数学知识，培养数学应用意识。 教学目标设置 课堂教学目标 1．了解数阵概念，会用组合数表示杨辉三角中的数； 2．了解杨辉三角中所蕴含的规律，提高观察和分析问题，运用联系及类比的观点看待问题，从而解决问题的能力； 3．归纳出杨辉三角及一般数阵的研究方法，养成发现问题、探究知识、建构知识的学习习惯。 学生学情分析 知识结构：学生已经学习过组合数的定义和性质以及二项式系数的性质，并对杨辉三角有一定的了解。 能力结构：学生已经具备了一定的综合分析问题的能力，利用适时地问题引导就能建立起知识之间的相互联系，解决相关问题。但是，他们对于规律的归纳还有一定的困难，需要适当地引导。 教学策略分析 因为发现杨辉三角中的部分数字规律有一定的难度，本节课采用的是以学生自主探究为主，教师引导探究为辅的探究课类型。为了让学生感受数学的趣味性，本节课具体采用的是自主探究与合作交流相结合的探究方式。探究时采用个人独立思考后小组合作互动的方式，重点在于发现数阵中的规律，使学生通过思维碰撞，擦出智慧的火花，达到共同完成建构知识的目的。同时也使不同层次的学生都学有所获，让学生体会发现和创造的趣味感，发展学生的创造性思维。 多媒体辅助教学的应用，可节省时间，增大信息量，增强直观形象性。提倡学习方式的多样化，本节课从情境引入—发现数字规律—利用组合数表述结论—证明结论，始终坚持让学生主动参与，亲身实践。在学生合作、师生互动中，学生真正成为知识的发现者和研究者。在这样的课堂中，不仅学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，而且对所用到的数学方法和涉及到的数学思想得以领会。 教学过程 教学重点：通过从不同的角度研究杨辉三角，得到杨辉三角的性质，并最终总结出一般数阵的研究方法。 教学难点：将杨辉三角的规律用组合数来进行总结。 1.引经据典，步入新课 今天这节课，我们从一幅图画开始，大家认识这两个图案吗（如图1，图2）？这是我们华夏传说中的河图和洛书。“河出图，洛出书，圣人则之”，伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州。可以说河图和洛书是我们华夏文化的起源。可大家知道吗，河图和洛书其实也是世界上最古老的数阵。 （1）贾宪在他的“开方作法本源图”中写道：“左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉”，用今天的话来讲，就是说杨辉三角中的每一个数都是二项式系数，而二项式系数都可以写成组合数。从而我们就可以把杨辉三角写成以下的形式，其中第n行第r个数可以写成 思路1：其是从求和的角度来研究的，既然横的一行相加存在规律，那么斜的一行相加是不是也可以得到一些结论？ 【设计意图】每个小组发言，结合性质的特点，进行组合数的总结。在总结过程中，从特殊情形出发，推导出性质的一般表示，体现从特殊到一般的思想。通过学生归纳猜想，引导学生验证猜想结论是否正确。同时为了突破利用科学探究的思想指导学生研究未知数阵这一难点，引导学生从模型化的角度出发，多角度的分析问题、探究问题、解决问题，将学生思维推向高潮。这既加深学生对前后知识内在联系的理解，又从深度和广度上让学生感受到了数学知识的串联和呼应。 5.教师补充，再得新知 （1）将杨辉三角中的奇数用线段连接起来，就可以得到一个有趣的三角形，即歇尔宾斯基三角。 （2）对歇尔宾斯基三角进行拓展—谢尔宾斯基塔（三棱锥）—谢尔宾斯基地毯（正方形）—谢尔宾斯基海绵（正方体）—分形数学。 （3）介绍分形之美。 （4）通过30°角斜行相加，得到斐波那契数列，展示斐波那契数列的优美视频。 【设计意图】对杨辉三角中部分学生没有发现的性质，教师做简单补充，既让学生了解到杨辉三角中更多的秘密，又让学生学会从不同的角度看待问题。同时，图片及视频形式的资料直观地展现数学之美，增加学生对数学的热爱之情。 6．探究小结,盘点新知 本节课的收获如下。 （1）杨辉三角的秘密，同时也是二项式系数的性质。 （2）通过对杨辉三角的研究，学生得到对于一般数阵的研究方法。 【设计意图】本环节通过教师的引导，让学生总结本节课的收获，并由教师进行必要补充。将收获分为两层境界。首先，是知识上的收获，即杨辉三角的秘密；其次，是方法上的收获，通过对杨辉三角的研究，得到了对一般数阵的研究思路，从观察横行，斜行，竖行，折线，局部，整体等角度研究。 思考与感悟 本节课是知识拓展类选修课程“数学欣赏”中的一课，是对课本中阅读与思考、探究与发现这两个栏目中的阅读材料的二次挖掘。 探究与发现是为了改变以学生单纯地接受教师传授知识为主的学习方式，实行以学生的自主探究，合作交流为主的研究活动，意在培养学生的创新精神、实践能力。作为一节探究课，教师教什么，怎么教，它能让学生在知识、思维、能力上有什么收获？这些问题值得我们思考。接下来，笔者就从以下几个方面来谈一谈对本节课的思考与感悟。 1.深入课题，明确定位 本节课的课题是“杨辉三角”中的一些秘密。事实上，有许多知名的数学家都研究过“杨辉三角”，华罗庚先生更是出版过一本《从杨辉三角谈起》，他们发现了许多“杨辉三角”的秘密，而教材呈现给我们的却只是“杨辉三角”秘密当中的冰山一角。 因此，在教学内容的选取上，笔者将本节课立足于对数阵的探究，以杨辉三角为载体，结合最近发展区理论，从二项式系数出发，从组合数的角度去探究杨辉三角，同时利用数阵与数列概念的相似性，从通项、递推、求和等角度辅助杨辉三角的探究，最终去发现杨辉三角的秘密，并归纳出一般数阵的研究方法，使本节课的探究得到升华。 2.契合主题，合作探究 自新课改以来，自主、合作、交流这三个词就是课标倡导的一种比较重要的学习方式，这节课既然选自“探究与发现”，在课堂模式上选择的自然是探究式教学。那么，什么是探究，学生该如何探究，又该如何避免表面上热热闹闹的假探究呢？课标中有明确解释，数学探究是指学生围绕某个数学问题，自主探究及学习的过程。探究包含了探究的内容，探究的形式，探究的分工。 这节课当中，笔者采用的是教师引导下的学生自主探究与合作交流相结合的探究方式，即教中学。在这节课笔者并不是放开马上让学生去探究，而是通过温故知新进行铺垫，并在研究之前给学生一个宏观的导向，即用数字表示的杨辉三角来寻找规律，用组合数表示的杨辉三角总结并论证规律。给学生一个宏观的策略性的指导，也是体现了我们数学研究问题时从特殊到一般的研究方法。采取观察、归纳、猜想、证明这样一步骤进行探究，既蕴含了合情推理，又有演绎推理。 3.合理布局，解决矛盾 作为一节探究课，最大的问题是学生探究时间与课堂时间的矛盾，在课堂当中，若给学生足够多的探究时间，学生可以讨论整整一节课；若限制学生的探究时间，由于杨辉三角的内容相对庞大，根本探究不出什么内容，又失去了探究的意义。因此，探究课各环节的时间安排就显得尤为重要。本节课当中，笔者采取了课前自主探究、课内合作交流与小组展示相结合的探究模式，将自主探究放在课外，让学生在课前对相关内容进行资料的查找与自主探究，并在课堂上以小组为单位进行探究成果的整合与展示，既保证了探究的时间与效果，又保证了课堂的时间。 结束语 钱学森先生有一个世纪之问，那就是为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？华人数学家丘成桐先生也指出，大多数学生对数学根本没有清晰的概念，只是做题的机器，这样的教育体系，难以培养出数学人才。可以说，课堂教学模式的变革迫在眉睫。让我们以深化课改为契机，从知识拓展类选修课的课堂开始，让学生真正成为课堂的主人，而不是课堂的观光客。 |
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