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一题可破万题山. 一题多解能调动学习的积极性，提高思维的活跃性、灵敏性，增强分析问题、解决问题的能力.本文拟从多方位视角解读2014年重庆A卷填空压轴题. 一、原题呈现 如图1，正方形ABCD的边长为6，O是对角线AC与BD的交点，点E在边CD上，且DE＝2CE，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，连接OF，则OF的值为 .  二、解法多探 从确定性的角度分析，此图是“死的”、“钢板一块”，整个图形都是确定的，所有元素都可解，包括各条边以及各个角等. 为表述方便，手到擒来的一些边角条件先作交代：  唯独确定的OF需要“绞尽脑筋”才有望获解.由于此图结构精妙，蕴含丰富的基本图形，故而会产生多种巧思妙解，下面提供若干策略： 基本策略一：“憨态可掬”勾股法 求边长的最基本思路是：构造直角三角形，采用勾股定理进行计算.  点评1：勾股法显得那么的大道至简，不需将问题想的多复杂，通过最经典的“水平—竖直辅助线”，将所求边置于构造的直角三角形中，采用平移思想，计算出所需“水平边”或“竖直边”.这是改“斜”归正、化斜为直思想的妙用，是一种最基本的解题策略，后续的所谓“建系解析法”，包括两点间距离公式等，本质就是勾股法. 基本策略二：“慧眼识图”相似法 求边长的另一个重要思路是：寻找基本相似型，采用比例进行计算.  点评2：此法显得那么的简捷完美，需要一双敏锐的双眼，慧眼识珠，敏锐地洞察到两个“射影型”相似结构，应用两次射影定理，巧妙证出一个比例式，从而得到一对“斜A字型”相似，顺利解决问题. 值得一提的是，利用此法，还可以得到∠BFO＝∠BDE＝45°.这是一个有趣的发现，后续的解法中也将会提及这个45°角.  点评3：“对顶相似必成对”，这也是一个经典结构，也可以用四点共圆的眼光来看，得到∠BFO＝45°后，出路其实还有很多，除了上面的“斜A字型”相似外，还可以解△BOF，其边BO、BF确定，虽为“SSA”，但仍可解，可作OG⊥BF于点G，利用45°设元，在Rt△OBG中用勾股定理列方程求解，当然计算量偏大些. 此外，这里的“对顶相似法”还可以与后续部分方法结合使用，效果更佳.  点评4：此法略微“臃肿”，稍显麻烦，之所以提及，是因为正方形中的垂直结构，很容易补成所谓“十字架”结构，如图1－5所示，  “垂直必相等”.此结构往往可以使问题的求解异常简单，需要勇于尝试，它与后续的各种简便解法可以结合使用，如“12345模型”等，效果非凡，甚至于还能创出新的解法，余味缭绕，回味无限，值得琢磨;  在“十字架”结构的基础上，解法4采取的“斜A字型”相似法，是为了呼应解法3中的“对顶相似型”，其核心结构如图1－7所示，  笔者又称其为“双高模型”，可谓“相似成灾”，主要有：①Rt△BOM∽Rt△BFN∽Rt△CFM∽Rt△CON；②△BCM∽△OFM；③△NOF∽△NCB； “套路，套路，一套就有路”，很多时候，数学解题就是在玩套路，同学们认真琢磨吧，争取变成自己的解题套路.  点评5：神威盖世“K字型”，它是“垂直处理”的常见策略，而且竟然出现了双“K字型”结构，可谓趣味盎然，巧借设元，妙用比例，导边导角，浑然天成; 此法亦可以与其他解法结合使用，比如用四点共圆等发现∠OFB＝45°，将更简洁，当然有无必要性另说. 基本策略三：“抽丝剥茧”三角法 三角是相似的浓缩精华，基于确定性分析的解三角形，是必备的解题品质，善于借助确定性思想去审题、分析问题，“眼中有角，心中有比”，“导角导边，灵活自如”，这或许也算是师父（苏州王晓峰）教诲“大平面观”的真谛吧！ 基于确定性思想分析：△BED确定（SAS或SSS）→∠OBF确定（三角比确定）→△OBF确定（SAS）→OF可求，具体如下：  点评6：三角法，如抽丝剥茧般，步步为营，将问题解决地很彻底，各边角元素都暴露无遗，解出了问题的本质.这需要较强的分析问题、解决问题的能力，当然也是解题的基本技能之一，尤其是基于确定性思想下的边角分析，要求学生有明确的导角意识，“眼中有角，心中有比”，目光远大，无拘无束，形成传说中的“大平面观”； 在导角导边分析的基础上，△OFC（SAS）与△OFE（SSA）都可解， 如图1－11及图1－12所示，有兴趣可自行探究； 三角法与其他解法结合使用，还会产生很多有趣的解法，譬如：
基本策略四：“炫目多彩”旋转法 除了用勾股、相似以及解三角形等“静态方法”思考问题外，还需养成用平移、对称、旋转等“动态方法”尝试解决问题的意识与能力.如图1－15， 细致分析图形的结构，会发现本题中等腰Rt△OBC形状与大小都确定，BF、CF又好求，而要求的是OF的长，可以考虑利用旋转变换，将由F点出发的三条线段集中在某三角形中. “见不等三爪图，想旋转”，可以绕O、B、C顺转或逆转，一般有六法，故可称“旋转六法”，相对而言，绕直角顶点O旋转，构造所谓“共直角顶点的双等腰直角三角形手拉手模型”，更简单些，属旋转法的第一层次，即“共顶点，等线段，造旋转，出全等”；绕点B或点C旋转，属旋转法的第二层次，即“共顶点，成比例，造旋转，出相似”. 点评7：上述两种解法属旋转法的第一层次，即旋转全等法，解法9相当于将△COF绕顶点O顺时针旋转90°至△BOT位置，而解法10相当于将△BOF绕顶点O逆时针旋转90°至△COT位置；然而两种解法均巧妙避开了旋转辅助线的添加，而是通过作垂线与已知线段延长相交，再结合题目条件证明上述三角形全等，从而得到所谓“共直角顶点的双等腰直角三角形手拉手模型”，“殊途同归”，但有效避开了证明“三点共线”的麻烦，建议同学们用旋转的眼光来看，用延长等方式去写. 点评8：上述两种解法属旋转法的第二层次，即旋转相似法，解法11相当于将△BOF绕点B顺时针旋转45°再位似放大至△BCT位置，而解法12相当于将△BCF绕点B逆时针旋转45°再位似缩小至△BOT位置；相比而言，前者更好说理些，后者似乎必须借助四点共圆等方法推出∠OFB＝45°，从而构造出“共45°角的双等腰直角三角形手拉手模型”，旋转相似必成对，顺利解决问题；若回避四点共圆等方法，解法9至解法11倒也是证明∠OFB＝45°的好方法，可见虽然理论上，“旋转六法”都可以解决问题，但繁简程度不一，需慎重考虑，一般情形下，旋转全等法比旋转相似法容易，即绕直角顶点旋转是首选； B、C两点地位等价，同理可以绕点C旋转，如图1－20及图1－21所示，不再展开； 据此，本题又产生新的求法，如图1－24所示，其本质也是旋转，相当于将Rt△BOG绕点O逆时针方向旋转90°至Rt△COH位置； 此模型不妨称为“同侧型共斜边等腰直角三角形＋直角三角形模型”，用文字描述其结论为：（非等腰）直角三角形较长的直角边减去较短的直角边等于两直角顶点间距离的根号2倍； 它还有一个“姊妹”模型，如图1－25所示， 不妨称为“异侧型共斜边等腰直角三角形＋直角三角形模型”，在此结构中有结论：BF＋CF＝根号2*OF，翻译成文字描述为：（非等腰）直角三角形的两直角边之和等于两直角顶点间距离的根号2倍； 注：图中标记的数字均是指相应角的正切值. 点评9：“12345秒杀法”是那么地铿锵有力，当然这取决于题目中数据的特殊性，但因其应用广泛，故想要秒题，需要牢记以下一组神奇的等式： 点评10：该法是如此的霸气凛然，简单补形出“十字架”，导角导边出“123”，利用比例，快速锁定答案； 当然，这里的∠OFN＝45°，即∠OFN＝“1”，需要借助四点共圆等方法得出. 基本策略六：“以备后患”建系解析法 几何问题几何解，这是不争的事实，但有时适当地采用解析法，往往可以打通一片新的天地.建系也需技巧、策略，请比较下面的两种解法： 基本策略七：“鬼斧神工”托勒密法 若是了解以下拓展知识，本题更可以直接秒杀： (托勒密定理)如图1－33，在圆的内接四边形ABCD中，始终有AC×BD＝AB×CD＋BC×AD，即圆的内接凸四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积. 点评12：托勒密法简单的令人发指，数学如此有趣，引无数学子竞折腰. 三、变式寻通 下面提供两道变式问题，供巩固练习之用： 变式1：如图2，正方形ABCD的边长为6，O是对角线AC与BD的交点，点E在边CD上，且DE＝2CE，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，连接AF，DF，求AF与DF的值. 无独有偶，2016年广西桂林也考了一个类似的问题： 变式2（“骨头版”）：如图3，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝ ． 三、答案与提示 两个变式，若干解法，可自行探究，以巩固各法，笔者仅提供一种解法及简单感悟： 还有一个有趣的现象，属笔者的瞎想与遐想，分享如下： 若是利用DF求OF的长，会有如下有趣的面积解法： 值得一提的是，若将变式2中等腰Rt△ABC补成正方形，如图3－2，这不就成为前面的例题了嘛，解法自然丰富多彩，甚是有趣！ |
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