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李尚志 北京航空航天大学 数学与系统科学学院 北京, 100191
中文摘要：抽象代数课如果只是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有例子，没有计算，不会解决任何问题，这样的抽象代数只能给零分。 抽象代数有没有既体现数学本质、又引人入胜的例子？本文介绍的就是这样的例子。 关键词：抽象代数，精彩案例
某校有一个被保送读研的学生参加我们的面试。我问她哪门课程学得最好。答曰“抽象代数”。不等我问问题，她就开始自问自答，开始背诵群的定义。我马上制止她，说不要你背定义，只要你举例。让她举一个非交换群。举不出来。举一个有限域，举不出来。我说：这两个例子举不出来，抽象代数零分! 她大惑不解，说：“既然叫做抽象代数，就是没有例子嘛！”她大概认为我学的是假的抽象代数，她学的真的抽象代数就是死记硬背一些自己根本不懂的定义，没有任何例子，不解决任何问题，也没有任何前因后果。 如果只是少数学生这样认为，可以怪她自己学得不好。问题的严重性在于：持这样观点的学生不是一两个，也不是百分之一二十，据我了解，学习抽象代数的大学生中有百分之九十以上持这种观点，只不过这个学生将这种观点总结得特别明确、特别精彩而已。这恐怕就不能怪学生，而应当从教材和教学中找原因了。 现有的抽象代数教材，不是没有例子。这些例子本来就很精彩。三等分角的尺规作图，五次方程的求根公式，这是迄今为止一些“民间科学家”还在花费毕生精力苦心钻研的世界“难题”，早就被抽象代数解决了，这还不够精彩吗？密码、编码中的理论和实践，抽象代数大显身手，也够精彩了。但是，这些精彩问题的解答叙述起来太难，学生不容易懂。要讲清楚，课时也不够。只有少数名牌大学的抽象代数课程还稍微讲一些，在其余的学校，就将抽象代数这些精华和灵魂砍掉了，只剩下最容易讲的：让学生死背一些自己也不懂的定义。考试也不考用知识解决问题，只考背定义。抽象代数就不是数学课，而是识字课，只要死记硬背就行了。金庸的武侠小说《射雕英雄传》中的武功秘籍《九阴真经》中有一段用梵文写的话：“努尔七八，哈瓜儿，宁血契卡，混花察察，学根许八涂，米尔米尔。”只要认识字，小学生也可以化功夫死记硬背下来，甚至可以到电视大赛中去表演，被媒体炒作成“武功神童”。但只要你不是傻瓜，就知道不用学武功也打得过这样的武功神童。同样，即使将整本抽象代数教材全部背熟而根本不懂它的意思，举不出一个例子，不会用来解决任何一个问题，这样学习的抽象代数就是假冒的，通通都应当给零分！我的抽象代数考题，从来不考背定义，只考举例、计算和证明。有的学生不会举例和计算，就把群环域的定义写出来希望得几分。以前我还给一分两分。经过上述那位学生的启发，对这样的答卷就一律给零分了。 这些年来，我在抽象代数课程建设中所做的全部努力，就是要灭掉这种“就是没有例子”的假抽象代数。取得的主要成绩，就是积累了一批既能体现数学本质、又为学生喜欢的案例。下面是其中的一部分案例。 1. 幻方一变八——正方形的对称群 我在抽象代数考试中考过这样的题：将如下的3阶幻方通过旋转和轴对称变出尽可能多的不同的幻方。 这不是考小学奥数。而是考正方形的对称群：旋转90o, 180o, 270o得到3个新的幻方，关于第2行、第2列、两条对角线做轴对称得到4个新的幻方，包括原来的幻方在内一共可以得到8个。 为什么只能得到8个而不能得到更多? 通过旋转和轴对称只能将左上角的2变到4个不同的位置(正方形的4个角)。将2固定在每个角不动，只能通过轴对称得到2个不同的幻方，4组总共2 × 4 = 8 个。这实际上是说：将正方形变到与自己重合，有8个不同的动作。这8个动作组成的集合对乘法(复合)与求逆运算封闭，组成一个群。其中保持2不动的动作组成一个2阶子群，将2变到同一个位置的动作组成一个陪集。非交换群、子群与陪集、子群的元素个数2是整个群的元素个数8的因子。这些概念和知识都自然而然引入了。 类似地，可以计算正方体的对称群或者旋转群的元素个数，或者任意正多边形和正多面体的对称群的元素个数。特别，正三角形的对称群由三个顶点的所有置换组成，就是元素最少的非交换群S3。 2．0与1的算术——二元域 许多人说有限域是抽象代数最后一节课讲的，最难，没学好情有可原，考试也不应当考。其实有限域最容易讲，最有趣，最有用，最有抽象代数味道，可以在抽象代数课第一节课第一分钟讲。如果抽象代数考试只考一道题，别的都可以割舍，有限域必须考。 小学生都懂得奇偶数的运算规律：偶 + 偶 = 偶，偶 + 奇 = 奇，奇 + 奇 = 偶; 偶 × 整数 = 偶，奇×奇 = 奇。将偶数用0表示，奇数用1表示，就得到：0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0; 0 × a = 0 (a = 0或1), 1 × 1=1。按这样的运算公式，两个元素0, 1组成的集合Z2就对加、减、乘、除封闭，Z2就是二元域，最简单的有限域。 我的导师曾肯成教授出过一个题：求随机整数组成的n阶行列式为奇数和偶数的概率。貌似概率题，其实是代数题。将行列式中的偶数用0表示，奇数用1表示，行列式为奇数(也就是等于1)就是二元域上可逆矩阵，充分必要条件就是各行线性无关。归结为二元域上的线性代数题。另一个例子是：在二元域上解齐次线性方程组，得到纠错码的一个设计方案。二元域在信息与计算机科学中至关重要。会算1 + 1 = 0，就懂了一点真正的抽象代数。 3．从凯撒密码谈起——整数的同余类。 5．无限循环小数的循环节长度
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