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如何给cos(x)^n降幂?

 南风清雨 2017-12-03

在高中数学中,我们从余弦函数的二倍角公式出发,得到了降幂公式,这里我带领大家对更高阶的降幂公式进行稍微的了解。为此,需要先让大家了解一些基础知识。

如何给cos(x)^n降幂?

欧拉,瑞士

先从美妙的欧拉公式讲起,

如何给cos(x)^n降幂?

图中的i是虚数单位,如果再利用高中学过的和角公式和差角公式,就会有下面的结论:

如何给cos(x)^n降幂?

这也就是著名的棣莫弗公式,用数学归纳法,很容易就可以得到下面结论:

如何给cos(x)^n降幂?

如何给cos(x)^n降幂?

棣莫弗,法国

另外,我们还可以从下面这个方程组中解出cos和sin

如何给cos(x)^n降幂?

得到

如何给cos(x)^n降幂?

有了上面的知识,下面就要开始解决题目中的问题了。

应用二项式定理,就可以得到如下的式子

如何给cos(x)^n降幂?

所以就能够得到

如何给cos(x)^n降幂?

再利用一下cos的复指数表示形式,就可以将上式变为

如何给cos(x)^n降幂?

这样就得到了我们需要的降幂公式,大家不妨试试sin如何降幂吧!

接下来作为这一公式的应用,大家试着证明一下如下等式。

如何给cos(x)^n降幂?

有想法的话请在评论区留言。

还有这一个积分(看起来很复杂,但是只要有思路就能立刻证明出来)

如何给cos(x)^n降幂?

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