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一天放学后，有位学生A跟我讲：老师！请教一个问题“当一道数学考题不知道怎么样下手时，有没有什么法宝的呀？”. 我笑着回答到：有呀！你指的是哪一方面的？ 学生A接口道：比方说“用无刻度直尺作图题”，我总是觉得不知从什么地方下手，结果消耗了我不少考试时间。 我反问道：用无刻度直尺作图，我在课堂上讲过三条经验，你是否还记得？请说给我听一下，如何？ 这时，倒是边上的学生B抢答道：老师，我知道。 我点点头默许学生B说开来： 第一条经验是“明了无刻度直尺的功用”：无刻度直尺仅仅只能用来经过两点作直线或者作出射线或者连线段。 第二条经验是“巧用题给条件及其性质”：解题离不开题给条件是真理，作图题也不例外，同时还需要结合题图性质。 第三条经验是“假设所画图形已然画出”：要作出的图形假设已经画出来了，反过来倒推所需连接的线是关键。 我立马表示赞赏：很好！记得非常清晰。这里第一条经验告诉你们用无刻度直尺作图主要是找出“该需要的点”；第二条经验讲的是画图必须依赖“条件与性质”；第三条经验实质上是告诉了你们一种思考问题的方法“逆想法”（也叫“倒推法”）。 我接着让几位学生回家后先把考过的作图题重新去捋一捋，第二天利用午自习宝贵时间，专门开了一个讲座，我将其取名叫做“逆想”解题法.先与大家如下分享之！ 首先，我在黑板上给出题1： 互动： 【我的引导】 看到原题1（1）后，第一想法是： 用量角器测量出∠ACB的度数，作出其一半度数值的∠ACM.结果发现：CM正好交圆F于点E. 【学生Y讲】 这就意味着：CE就是∠ACB的平分线. 【学生T讲】 进一步验证：∠AEC=90°是直径BC所对的圆周角；由于AC=BC是等腰三角形的两条腰，依据“三线合一”性质能够得出CE平分∠ACB.于是问题得以解决：“连接CE”即可！ 【我的赞赏】:讲的非常好！很棒！ 总结： 像这种预先通过其它手段（比如上面的用量角器作出角平分线）得出结果，倒过来推理验出刚刚得出的结果正好符合题意所需结果的做法，就叫做“逆想”解题法. 逆想解题法，可以找准解题的“切入口”； 逆想解题法，可以找出解题的“正思路”； 逆想解题法，可以缩减解题的“开放度”. 【我的续引】 请看如下变式题一： 【我的新引】 同学们，现在是要作出∠BCM的平分线.根据刚才的做法：连接CE就是∠ACB的平分线，看看∠ACB与∠BCM是啥关系？ 【学生X讲】 ∠ACB与∠BCM是邻补角，邻补角的平分线互相垂直. 【学生Q讲】 想法设法作出CE的垂线就可以了，这条垂线肯定与圆F相交于一点，假设这点为N，作出直线CN就是∠BCM的平分线. 【学生B讲】 作出CN后，发现点N、点F、点E是在同一条直线上的，这就意味着点N可以通过作射线EF交圆F得出. 【学生S讲】 事实上：四边形BECN是一个矩形，因为圆中任意两条直径的四个顶点依次连接成的四边形就是一个矩形. 【我的提问】 谁来说说具体怎么作图呢？ 【学生H答】 连EF并延长交圆F于点N，作射线CN就是∠BCM平分线. 【我的赞同】 非常好！看得出来大家对“逆想解题法”多少领悟到了. 【我的继续】 接下来“乘胜追击”看题1（2），仿上做法，请同学们使用直角三角板画出BC上的高AH.然后思考：手中无刻度直尺要作出高AH，点A已在，还需要找到一个“关键点”（不妨记为点P），然后经过点A与点P可以作出一天直线交BC于点H，毕竟使用无刻度直尺是作不出直角的。 【学生G讲】 我发现△ABC是一个锐角三角形，因为圆外角∠A小于同弦所对的圆周角；另外想到锐角三角形的三条高交于一点（以前说过叫做垂心），只要把△ABC其它两条边上的高先作出来，两条高的交点就是我们要找的关键点P. 【学生F讲】 其实，边AB上的高就是CE，边AC的高就是BD，连CE、BD交于点P，作射线AP交边BC于H，AH就是边BC上的高。 【我的点赞】：反应挺快的！真棒！看题1变式题二： 经过大约2分钟后，就有学生在草稿本上给出解答： 【我的点赏】 同学们厉害了！能够融会贯通，触类旁通，加油！ 题1的简略解答为： 下面采用今天“逆想解题法”来练练下面这道题： 现摘录某一个学习小组讨论内容如下： 【学生C讲】 连接AE、BF交于点O，这个点O就是正八边形的中心. 【学生I讲】 假设点G已经找到，那么连接GD交AE于点N，此时点F、N、C三点共线,点G、O、C三点也共线. 【学生L讲】 说明点G可以通过（1）连接FC交AE于点N;（2）作射线DN交射线CO于点G，连FG得出正八边形一条缺损的边。 【学生O讲】同样可以（3）连接AD交BF于点M；（4）作射线CM交射线DO于点H；连GH、HA.于是全部搞定！ 【我的结语】 你们“出师”了，对“逆想解题法”已然娴熟，祝贺！ 此时，下课铃声响起，本讲座到此结束。 请看题2的详图解析： 之后我提出课后值得思考的新问题： 同学们，今天这个讲座你受到了什么启发？感悟？经验？ 今天“逆想解题法”仅仅用来“指导”无刻度直尺作图题似乎满顺的，换作别的题型，还能继续使用这个方法吗？ 请大家自我归纳总结“逆想解题法”的一般步骤！同时课后完成教辅书上的作业时，最好能有意识地使用之。 |
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