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前言 相似中分类讨论一直是教学中的一个难点，处理相似三角形分类讨论一般会有以下思路：先确定一组角相等，然后可从角的对应相等讨论，通常可转化为特殊位置关系、特殊数量关系、基本图形特殊性质等解决问题；也可以用“x”表示等角的两条边，列出两个比例式，建立一元方程求解．今天以两题为例，说说自己的想法。 试题一 （2008年上海中考第25题）已知：AB＝2，AD＝4，∠DAB＝90°，AD∥BC（如图）．点E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），点M是线段DE的中点． （1）设BE＝x，△ABM的面积为y，求y关 于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）联结BD，交线段AM于点N．如果以点 A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长  第（1）问的解答  第（3）问的解答 方法一：通过角的角度分类   方法二：通过边的角度分类    试题二 如图，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD:BC=1:2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G。 （1）若BF:FC=1:3，求DG:GF的值； （2）联结AG，在（1）的条件下，写出线段AG和线段DC的位置关系和数量关系，并说明理由； （3）联结AG，若AD=2，AB=3，且△ADG与△CDF相似，求BF的长。   第一问和第二问的解答   第三问的解答方法 方法一：通过角的角度分类 ∵ABCD是等腰梯形，AD=2，AD:BC=1:2，∴BC=4，∵AD//BC，∴∠1=∠2， ∵△ADG与△CDF相似， ∴∠4=∠FCD或∠5=∠FCD 情况1，当∠4=∠FCD时，则有∠5=∠FDC，有AG//DC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM =4， 提示 1.要回想前两问的方法，本种情况其实是第二问方法的迁移。 2.也可以这样思考：AG=AD=2可得∠5=∠1，由相似可得，∠2=∠FDC，FC=DC=3. 情况2，当∠5=∠FCD时，延长AG交BC于点T，可得△ABT∽△FCD， 综上只有BF=1 小结 通过角的转化虽好，但有时可能会走进“困境”，比如上面情况2，需要解题者重新转化问题，显然思维量增加了，不妨尝试从等角所在的两边成比例的角度思考，有时可能会简化些。 方法二：通过边的角度分类 注意：对于过渡数据可不必急于化简，在计算过程中可能出现约分、平方（去根式）等情形！ 总结 对于相似的讨论问题通常先找到等角，然后再从角的分类或边的比例式两个方向去探索，具体问题要具体分析，从角的分类往往加快解题过程，不足之处可能会漏解，边的比例式虽然计算略繁琐，不过一旦列出，容易找到全部答案。 |
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