例谈压轴题课堂教学的育人价值
[摘 要] 初三后期的复习课时间紧任务重，本文从分析2015年浦东新区一模卷第25题的部分课堂实录出发，浅谈如何进行一题多解和一题多变，从中探讨应用模型教学和题组教学，逐渐挖掘解题教学中的育人价值.
[关键词] 压轴题；教学；一题多解；一题多变 章建跃博士指出：解题的目标应聚焦于加深和理解双基. 学会思考，培养和发展思维能力；查缺补漏，培养良好的学习习惯，培养创造力等. 这些目标的实现，极大程度上依靠“好题”. “好题”能够反映数学本质，与重要的数学概念和性质相关，能够体现基础知识的联系性，解题的方法自然多样，具有发展性等等. 命制一道好题需要对数学本质具有深刻的理解，研究一道好题需要熟悉考点、清楚设计意图、开放解题思路. 同样的，一节优质的试卷讲评课，教师应该清楚出题意图，灵活解题思路，促进学生数学思维发展. 接下来笔者以2015年上海市浦东新区一模第25题为例谈谈如何挖掘压轴题中的数学元素，提升学生数学学习品质. 试题呈现 （2015年浦东新区一模25题）如图1，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A、D不重合），∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M. 初步思考 此题围绕沪教版教材九年级第一学期重要教学内容并紧扣“相似”这一重要考点，能够较好地检测基础知识和基本技能的掌握情况. 第（1）题的难度期望值大概为0.6-0.8，接下来的第（2）题难度期望值约为0.4-0.5. 反思分析 这道题目是一道典型的以正方形为背景的动点问题，是中考压轴题的常见题型. 本题设计出不同层次的三个问题，既由浅入深、风格不同，又相互关联、前后呼应，属于“并列式”结构. 这道题目围绕着上海教育出版社九年级第一学期教材的“主干”和“核心”内容，紧扣相似三角形和四边形的相关考点，能够在检测基础知识的同时检测逻辑思维能力、计算能力和综合应用能力，具有一定的思维量. 第（1）问考查相似三角形的判定定理，第（2）问利用第（1）问的结论研究两条线段之间的函数解析式，第（3）问在分类讨论的基础上利用第（2）问的结论进行三角形面积的计算. 在第（1）问的基础上分析图形中边和角之间的关系，通过添加过点G的两条垂线构造矩形GQDH，利用矩形对边相等，从各种等量关系求出长度，或让用字母x来表示的线段聚集在直角三角形EQG中，通过勾股定理得到线段AE和EG的函数关系式. 那么有没有其他方法可以求解线段AE和EG的函数关系式呢？ 一题多解 仔细审阅这题的题干部分“点E为AD边上的一个动点（与点A、D不重合），∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M. ”不难发现，整个图形的运动过程中，点E是主动点，而点G和点M是从动点，它们的位置是随着点E位置变化而变化的. 联想到第一种解法中是过从动点G添加垂线，那么是否可以过主动点E添加垂线呢？ 再次审视这道题目的第（2）问，再次回顾解决此题的方法一，过点G添加线段AD和CD的垂线，构造一个矩形GQDH，那么能不能过点G添加BE的垂线呢？方法三随之产生了. 方法三：如图6，过点G作GK⊥BE，K为垂足. 和方法一、方法二相比，方法三的不同之处在于将目光从添加垂线构造直角三角形逐渐转向了分析三角形EGB的特征，通过相似三角形的判定，发现三角形EGB是一个等腰直角三角形，进而根据EG和EB的线段长度比值求出线段AE和EG的函数关系式. 课堂上教师引导学生反思前面三种解答过程，提出问题：在分析三角形EGB典型特征的过程中是否一定需要通过添加辅助线构造相似三角形呢？回答显然是否定的. 此时课堂上学生的思维活跃起来，学生的语言也丰富了. 追本溯源 不添辅助线的方法四无疑是这几种解法当中最简单的一种，为什么想到这种方法的同学不多呢？追本溯源这是一个典型的“蝶形问题”，或者说是“四点共圆”问题. 如图8，“已知∠BAO=∠CDO，问图中有几对相似三角形？”“已知AO·OC=OB·DO，问图中有几对相似三角形？”“已知AO·OB=OC·DO，问图中有几对相似三角形？” 在上海教育出版社出版的数学教材九年级第一学期25页例题1中出现的就是这样的一个“蝶形”相似，无独有偶，在同一本课本第8页的例题2，九年级第一学期的教参30页上归纳整理的几个基础图形中的最后一个也是以这个蝶形作为基础图形展开教学的. 类似这样一些简单问题，学生是否能够从复杂的图形中抽象出“蝶形问题”或者说是“四点共圆问题”就成为其能否顺利解决第（2）问的关键. 怎样才能使学生在复杂图形中轻而易举地看出对解题有帮助的基础图形呢？ 解题启示 1. 重视“基本模型”构建能力的培养 罗增儒教授指出：如果能够辨别题目属于熟悉的类型，就用该类型相应的方法去解决（模型识别）；如果遇到不熟悉和费解的习题，不能直接转化为熟悉的类型，那我们可以“分解”， 既使得每个小问题都是熟悉的，又可以揭示问题的深层结构，使问题的实质是熟悉的，同时还可以不间断地改变习题，最终化归为已经解决的问题. 各地历年中考题中都有“基础图形”的痕迹，其重要程度可见一斑. 初三毕业班的数学教师对这一教学内容相当重视，每一位有经验的数学教师凭借着自己的理解和概括都能总结和提炼出一个又一个的模型，上课时教师讲授得头头是道，学生听得津津有味，可是当学生独立面对综合题的时候往往显得束手无策. 这种对于基础图形“识而不会”的情况为何屡屡发生呢？究其根源，最主要的原因就是缺乏构建的数学能力. 大多数综合题中的基础图形都是“潜伏”在大段叙述性的文字或者复杂的图形中的，需要適当添加辅助线构建基础图形才能逐渐清晰明朗. |
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