旧版《7.7完全平方公式》扩展资料

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关于(a+b)²的推广

　　对于公式(a+b)²＝a²+2ab+b²，可以从两方面推广：一是从指数推广；一是从项数推广．

　　我们知道，

　　(a+b)²＝a²+2ab+b²． ①

　　由多项式的乘法，可以得到

　　(a+b)³＝(a+b)²(a+b)

　　＝(a²+2ab+b²)(a+b)

　　＝a³+2a²b+ab²+a²b+2ab²+b³

　　＝a³+3a²b+3ab²+b³． ②

　　从展开式①，②中，可以看出如下规律：

　　项数与次数

　　项数比次数多1；

　　展开式中的字母a按降幂排列，第一项的字母a的指数就是二项式的次数；而字母b则按升幂排列，末项b的指数也是二项式的次数；

　　各项中a，b指数的和都等于二项式的次数．

　　系数

　　首末两项的系数都是1；

　　②式中第二项的系数是①式中第一、二项系数的和；

　　②式中第三项的系数是①式中第二、三项系数的和．

　　上述规律，从下面的表中可以很清楚地展示出来．

　　按上述规律，

(a+b)⁴

　　展开式各项的系数为

1 4 6 4 1

　　再结合项数与次数的规律，可得

(a+b⁴)＝a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴． ③

　　由多项式的乘法验证，③的结果是对的．

　　事实上，由③可以推出(a+b)⁵展开式各项的系数，等等．当二项式的次数不大时，我们利用项数与次数以及系数的规律可以将展开式写出来．例如

(a+b)⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．

　　如果你有兴趣，不妨按照上述规律写出(a+b)⁶的展开式．

　　上述二项式展开式的系数表在我国宋朝数学家杨辉著《详解九章算法》(1261年)一书中用过．杨辉在注释中提到，贾宪也用过上述办法．因此，我们称上述系数表为杨辉三角或贾宪三角．

　　下面看一看(a+b)²项数推广的情形．

　　我们用语言表述公式

(a+b)²＝a²+2ab+b² ①

　　为：两数和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数积的2倍．

　　我们曾用多项式的乘法计算，得

(a+b+c)²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac． ②

　　上式同样可用语言表述为：三数和的平方，等于这三个数的平方和，加上这三个数中每两个数的积的2倍．下面，我们用多项式的乘法计算四数和的平方．

　　(a+b+c+d)²＝[(a+b)+(c+d)]²

　　＝(a+b)²+2(a+b)(c+d)+(c+d)²

　　＝a²+2ab+b²+2ac+2ad+2bc+2bd+c²+2cd+d²

　　＝a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd． ③

　　同样，上式用语言表述为：四数和的平方，等于这四个数的平方和，加上这四个数中每两个数的积的2倍．

　　同学们如有兴趣，可利用公式②，③计算下列各题：

　　1．(a+2b-c)²．

　　2．(2x-y+3z)²．

　　3．(a+b-c-d)²．

　　4．(x-2y-z+2w)²．