巧用动态圆求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的问题

丁千军　江苏省泰州市民兴实验中学　225300   
        “带电粒子在磁场中的运动”是历年高考中的一个重要考点，而“带电粒子在有界磁场中的运动”则是此考点中的一个难点。它难在带电粒子进入设定的有界磁场后只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，它要求考生根据带电粒子运动的几何图形去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学工具和相应的物理规律处理问题。
        如何巧用动态圆求解带电粒子在有界匀强磁场中运动的极值问题？我们可以从下列两个模型入手解决这类问题：

        模型一：如图1，一束带负电的粒子以初速度v垂直进入匀强磁场，若初速度v方向相同，大小不同，所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上，速度增大时，轨道半径随着增大，所有粒子的轨迹组成了一组动态的内切圆。

        例1.如图2所示，匀强磁场的边界为平行四边形ABDC，其中AC边与对角线BC垂直。一束电子以大小不同的速度沿BC从B点射入磁场，不计电子的重力和电子之间的相互作用，关于电子在磁场中运动的情况，下列说法中正确的是(　)。
        A．入射速度越大的电子，其运动时间越长
        B．入射速度越大的电子，其运动轨迹越长
        C．从AB边出射的电子的运动时间都相等
        D．从AC边出射的电子的运动时间都相等
        解析：电子以不同的速度沿BC从B点射入磁场，若电子从AB边射出，画出其运动轨迹。由几何关系可知：在AB边射出的粒子轨迹所对的圆心角相等，在磁场中的运动时间相等，与速度无关，C对，A错；从AC边射出的电子轨迹所对圆心角不相等，且入射速度越大，其运动轨迹越短，在磁场中的运动时间不相等，B、D错。
答案：ACD。
        模型二：如图3所示，一束带正电的粒子以初速度v垂直进入匀强磁场，若初速度v大小相同，方向不同，则所有粒子运动的轨道半径相同，但不同粒子的圆心位置不同，其共同规律是：所有粒子的圆心都在以入射点为圆心、以轨道半径为半径的圆上，从而可以找出动态圆的圆心轨迹。

        例2.如图4所示，在y轴右侧平面内存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.5T。坐标原点O有一放射源，可以向y轴右侧平面沿各个方向放射比荷为　=2.5×10-7Kg/C的正离子，这些离子速率分别在从0到最大值vm=2×106m/s的范围内。不计离子之间的相互作用：

        （1）若在某时刻沿+x方向放射各种速率的离子，求经过　×10-7s时这些离子所在位置构成的曲线方程。
        （2）若从某时刻开始向y轴右侧各个方向放射各种速率的离子，求经过　×10-7s时已进入磁场的离子可能出现的区域面积。
        解析：（1）大家解题时若能从动态圆模型角度思考，就可以迅速得出离子轨迹符合模型一，该时刻所有离子轨迹所对应的圆心角相等，如图4，从而得到离子的位置。 
        进入磁场的离子中做圆周运动的半径最大，由牛顿第二定律得：Bqv=m　；解得：R=　 =1m。
        离子在磁场中运动的周期为T，
        则T=　　=　　=π×10-6s。
        t时刻时，这些离子轨迹所对应的圆心角为θ，
        则θ=　　=　，这些离子构成的曲线如图所示。令某一离子在此时刻的坐标为（x，y），则x=rsinθ，y=r（1-cosθ），代入数据并化简得：y=　 x（0≤x≤　 ）。

        （2）离子轨迹符合模型二，最大速率的离子作圆周运动的圆心分布在以O为圆心、OC为半径的圆周上，如图6，沿x轴负方向运动的最大速率的离子在该时刻恰好运动到B点，OB为其运动圆弧所对应的弦，离子的初速度速度方向与弦的夹角为　，且所有离子的规律均相似。图5中的OB段沿逆时针方向旋转，与y轴所围成的面积即为在t=0向y轴右侧各个方向不断放射各种速率的离子在t=　 ×10-7时已进入磁场的离子所在区域，如图7。

        由几何关系可求得此面积为：
        S=　πR2+　πR2-　R×　 R=　πR2-　 R2
        则：S=（　π-　 ）m2。
        点评：离子束在有界匀强磁场中运动的问题，难度较大，考查大家的分析推理、空间想像等能力。解答此类问题要理清物体运动规律，分析出粒子运动的圆心和作出粒子运动的轨迹是关键，再利用几何关系求解