旧版几何《3.9角的平分线》典型例题

典型例题

3.9  角的平分线

　　例1、已知：如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

　　求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

　　分析：这是证明线段相等问题，由已知利用定理不难证明.

　　证明：（略）

　　说明：已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，证明它们相等必须标出它们，这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理。

　　例2、已知：如图2，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.

　　求证：P在∠A的平分线上

　　分析：要证结论成立，需要证明P到∠A两边的距离相等，所以作PE⊥AB于E、PG⊥AC于G，为证PE＝PG，考虑利用已知的两个角平分线，自然应再作PH⊥BC于H，此时易于发现PE＝PH，PH＝PG.

　　证明：（略）

　　说明：解题关键是标出距离，运用角平分线性质定理的逆定理求证。

　　例3、写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题

　　(1)全等三角形的对应角相等；

　　(2)对顶角相等

　　(3)如果那么

　　(4)直角三角形的两个锐角互余

　　分析：写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论。然后将其“换位”；判断一个命题为真要证明，为假要举反例。

　　解：它们的逆命题分别是：

　　(1)三个角对应相等的两个三角形全等

　　(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

　　(3)如果，那么

　　(4)有两个锐角互为余角的三角形是直角三角形

　　其中（1）、（2）、（3）为假命题，而（4）为真命题，证明略。

　　说明：“如果”、“那么”这是标明条件和结论的关键词，若题目没有需转化成这样的句式。

　　例4、已知：如图3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点

　　求证：∠BDP＝∠CDP

　　分析：要证结论成立，只需证△BDP与△CDP全等，这可由条件不难证得。

　　证明：

　　

　　说明：本题的证法说明证明角平分线，不一定都要用其判定定理。