旧版几何《5.5相似三角形的性质》典型例题

典型例题

　　例1 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，DB=5，求AD的长．

　　分析：由已知AC=6，DB=5，选用 来解决，考虑△ACD∽△ABC．

?

　　解：在△ACD和△ABC中，

　　∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，

　　∴△ACD∽△ABC．

　　∴ ．∴ ．

　　设AD=x，则AB=x+5，又AC=6，

　　∴ ．    

　　解得：x=4（舍去负值）

　　∴AD=4．

　　说明：（1）本题是“双垂直图形”中的求值问题，也是借助于三角形相似，利用比例式求线段的长问题．通过那两个三角形相似求解，要充分观察已知条件；（2）求解方法有直接法和解方程法．

　　例2 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，底边上的高AD=10cm，腰AC上的高BE=12cm．

　　（1）求证： ；

　　（2）求△ABC的周长．

　　分析：（1）易证△ADC∽△BEC，所以 ，关键是作等量代换：AB=AC，BC=2BD．（2）充分利用（1）的结论，通过线段之间的关系构造方程求解．

　　证明：（1）在△ADC和△BEC中，

　　∵∠ADC=∠BEC=90°，∠C=∠C．

　　∴△ADC∽△BEC，

　　∴ ．

　　∵AD是等腰三角形ABC底边的高线，

　　∴BC=2BD ，

　　又AB=AC，

　　∴ ，∴

　　解：（2）设BD=x，则AB= x，

　　在Rt△ABD中，∠ADB=90°，

　　根据勾股定理，得： ．

　　∴ ，解得   x=7.5，

　　∵BC=2x=15，AB=AC= x=12.5

　　∴△ABC的周长为40cm．

　　说明：（1）题目中所出现的相似三角形也是一种常见的图形（如右图）；（2）方程思想在求线段的题目中，经常用到，要熟练掌握．在设未知数时，对所求的线段可以直接设元，也可以间接设元．

　　 例3  已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．

　　求证：  BC²＝2CD·AC．

　　分析：欲证 BC²＝2CD·AC，只需证 ．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．

　　  证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DE＝DC，

　　∵BD⊥AC于D，

　　∴BD是线段CE的垂直平分线，

　　 ∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，

　　又∵ AB＝AC，

　　∴∠C=∠ABC．

　　∴ △BCE∽△ACB．

　　∴ ，    ∴

　　∴BC²＝2CD·AC．

　　证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AE＝AC，连结BE，

　　 ∵ AB＝AC，

　　∴ AB＝AC=AE．

　　∴∠EBC=90°，

　　又∵BD⊥AC．

　　∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，

　　∴∠E=∠DBC，

　　∴△EBC∽△BDC

　　∴ 即

　　∴BC²＝2CD·AC．

　　 证法三（构造 ） ：如图，取BC的中点E，连结AE，则EC= ．

　　又∵AB=AC，

　　∴AE⊥BC，∠ACE=∠C

　　∴∠AEC=∠BDC=90°

　　∴△ACE∽△BCD．

　　∴ 即 ．

　　∴BC²＝2CD·AC．

　　证法四（构造 ）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE= ．

　　 ∵BD⊥AC，∴BE=EC=EB，

　　∴∠EDC=∠C

　　又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，

　　∴△ABC∽△EDC．

　　∴ ,即 ．

　　∴BC²＝2CD·AC．

　　说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．