【原】【材料阅读】【新概念问题】【命题】

难度系数

★★★☆☆

  试题内容

1

山西中考试题

请阅读下面内容,并完成相应的任务.

学习新知

定义:如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形,那么这个四边形叫做等面积四边形,这条对角线叫做等面积对角线.

等面积四边形的性质:在等面积四边形中,等面积对角线平分另一条对角线.

已知:四边形ABCD是等面积四边形,等面积对角线AC与对角线BD交于点O,△ABC与△ADC的面积相等.

求证:BO=DO.

证明:如图(1),分别过点B,D作AC的垂线,垂足分别为点E,F.

∵S△ABC=(1/2)AC·BE,

S△ADC=(1/2)AC·DF,

且S△ABC= S△ADC,

∴(1/2)AC·BE=(1/2)AC·DF ,

即BE=DF.

(请将未完成的证明过程补全)

思考与探究

(1)下列图形中,属于等面积四边形的是(   )

A.平行四边形

B.对角线互相垂直的四边形

C.对角线相等的四边形

(2)写出等面积四边形性质的逆命题,并判定它是真命题还是假命题(不需证明).

应用与拓展

如图(2),已知四边形ABCD是等面积四边形,AC是等面积对角线,若BD平分∠ABC交AC于点E,AB=2BC.

求证:AD=AE.

2

解法分析

学习新知

定理的证明

补全证明过程如下:

方法一:如左图

在△ABO与△ADO中,

∵S△ABO=(1/2)AO·BE,

S△ADO=(1/2)AO·DF,

∴S△ABO=S△ADO,

∴DO= BO

方法二:如右图

在△BOE与△DOF中, 

∵∠BEO=∠DFO,∠BOE=∠DOF,BE=DF,

∴△BOE≌△DOF,

∴BO= DO.

思考与探究 

逆命题

(1)A

(2)如果四边形的一条对角线平分另一条对角线,那么这个四边形是等面积四边形.这个命题是真命题.

【课程标准2011】

结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

应用与拓展

定理的应用

∵四边形ABCD是等面积四边形,AC是等面积对角线,

∴BE= DE.

如图,过点E作EF∥AD,交AB于点F, 

则AF:BF=DE:BE=1,∠ADE=∠BEF,

∴AB=2BF,

∵AB=2BC,

∴BF=BC.

∵BD平分∠ABC,

∴∠FBE=∠CBE,

在△BEF与△BEC中,

BE=BE,∠FBE=∠CBE,BF=BC,

∴△BEF≌△BEC,

∴∠BEF=∠BEC,

∴∠BEC=∠ADE,

又∵∠AED=∠BEC,

∴∠AED=∠ADE,

∴AE=AD.

————  e n d ————