e=2.7…是怎么算出来的？

quasiceo 2017-12-31

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10月19日更，更新内容
1.添加了分割线
2.将图片换为了公式
3.添加了高能的泰勒级数
p.s.终于知道你们为什么不愿意答全了...公式简直难添加...尤其是对于我这种用虚拟键盘的，效果拔群.....
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大半夜看到这个题目怒答！！！！终于有我会的了！！！
首先，问题是这样的：怎样求导 $y=a^{x}$ ?
现在基本上初等微积分的人都会学过这个问题，但是我们要去看当时人们的想法 $\frac{da^{x} }{dx} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{x+\Delta x}-a^{x} }{\Delta x} }$

$=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \frac{a^{x}(a^{\Delta x}-1) }{\Delta x} }$

$=a^{x} \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x}-1 }{\Delta x} }$
根据导数的定义式我们能得到以上的内容。那么问题来了，a^x好办，后面的那一大坨怎么办呢？这时我们引入另外一个符号M(a)
设 $M(a)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \frac{a^{\Delta x}-1 }{\Delta x} }$
则原式可写为
$\frac{d}{dx} a^{x} =a^{x}M(a)$
观察可得
$\frac{d}{dx} a^{x} |_{x=0} =M(a)$
∴M(a)可以看作是当x=0时的切线斜率
然后我们做以下定义：定义 M(e)=1 ,即当x=0时切线斜率为1
∴ $\frac{d}{dx} e^{x} =e^{x} M(e)$

$=e^{x}$
然后这就是e的产生，但既然说的是y=a^x,那就一次把这个问题说完吧。
∵ $e^{lna} =a$
∴ $a^{x} =e^{xlna}$
∴ $\frac{d}{dx}a^{x} =\frac{d}{dx} e^{xlna}$
根据链式法则
$=lna(e^{xlna} )$
$=lna(a^{x} )$
这时我们就得到了y=a^x的导数，这就是e的产生的全过程。下面是关于e的计算。我将先证明e的计算式的正确性：
求 $\lim_{n \rightarrow \infty }{(1+\frac{1}{n})^{n} }$
开始计算
取自然对数
$\lim_{n \rightarrow \infty }{ln(1+\frac{1}{n} )^n}$
$=\lim_{n \rightarrow \infty }{nln(1+\frac{1}{n}) }$
设 $\Delta x=\frac{1}{n}$
∴ $\lim_{n \rightarrow\infty }=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}$
∴原式可化为 $\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{ln(1+\Delta x)}{\Delta x} }$
∵ ln1=0
∴原式可化为 $\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{ln(1+\Delta x)-ln1}{\Delta x} }$
根据极限的定义
∴上式=1
下一步直接以e为底
$e^{\lim_{n \rightarrow \infty }{ln(1+\frac{1}{n})^{n} } } =e^{1}$
$\lim_{n \rightarrow \infty }{(1+\frac{1}{n})^{n} } =e$
所以当n的值取得越大，结果就会越接近e。
但是这种方法也是有缺陷的，其他各位答主也提到了，就是收敛速度太慢。用泰勒级数的话会快得多。下面是泰勒级数的方法。
先上泰勒级数计算的一般式
$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!} (x-x_0)^{2} +...+\frac{f^{n} }{n!}( x-x_0)^{n}$
关于泰勒级数算法的证明，其实就是通过无限的近似达到接近（线性近似+二阶近似+三阶近似+...+n阶近似）
关于那个公式...我也稍微证明一下吧...感觉今晚作业写不完了
先是线性近似
y=ax+b
y'=a
这就是第二项里f'的由来
二阶近似
$y=ax^{2} +bx+c$

y'=2ax+b

y''=2a

∴ $a=\frac{y''}{2}$
这就是第二项中二阶导数的由来，因为是二阶近似，所以后面要平方.
这里注意到分母上的2是2！再往下看
三阶近似
$y=ax^{3} +bx^{2} +cx+d$
$y'=3ax^{2} +2bx+c$
y''=6ax+2b

$a=\frac{y'''}{6}$
这里我们发现
$a=\frac{y'''}{3!}$
更高次项和general formula我就不推了，大家get就好了...
好了回归正题
设 $y=e^{x}$
套公式泰勒级数为
$e^{x} =1+x+\frac{x^{2} }{2!} +...+\frac{x^{n} }{n!}$
取x=1时的值就是e，这个方法会快得多.

编辑于 2015-10-19