12月26日:函数的概念

　　函数的概念及其表示方法



1．下列式子中不能表示函数y=f(x)的是（　　）
　A． x=y2+1
　B． y=2x2+1
　C． x−2y=6
　D． x=√y

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【答案】A
【解析】
　　对于A,由x=y2+1得y2=x−1,当x=5时,y=±2,故y不是x的函数;
　　对于B, y=2x2+1是二次函数;
　　对于C,由x−2y=6得y=12x-3,是一次函数;
　　对于D,由x=√y得y=x2(x≥0),是二次函数的一部分.故选A．

2．已知函数f(x+1)=2x−1,则f(2)的值为（　　）
　A．0　　B．1
　C．2　　D．3

【查看答案】

【答案】B
【解析】
　　令x+1=2，则x=1， ∴f(2)=2×1−1=1.故选B．

3．若函数y=x3+1(x∈A)的值域为{1 ,  0},则集合A为（　　）
　A． {2,9}
　B． {0, 1}
　C． {0 ,−1}
　D． {2,5}

【查看答案】

【答案】C
【解析】
　　因为函数y=x3+1(x∈A)的值域为{1 ,  0},所以x3+1=0或x3+1=1，得x=0或x=−1,则A={0 ,−1}.

4．函数y=√4−(12)x−1的定义域是（　　）
　A． [1,+∞)
　B． [−1 ,+∞)
　C． (−∞ , 1]
　D． (−∞,−1]

【查看答案】

【答案】B
【解析】
　　由题意知4−(12)x−1≥0,则x−1≥−2,所以x≥−1，
　　故函数y=√4−(12)x−1的定义域为[−1 ,+∞).

5．下列各组函数中,表示同一函数的是（　　）
　A． y=1,y=xx
　B． y=√x−1×√x+1,y=√x2−1
　C． y=x,y=3√x3
　D． y=|x|,y=(√x)2

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【答案】C
【解析】
　　A．这两个函数的定义域不同,所以不是同一函数;
　　B．这两个函数的定义域不同,所以不是同一函数;
　　C．这两个函数的定义域、值域与对应关系均相同,所以是同一函数;
　　D．这两个函数的定义域不同,所以不是同一函数,故选C．

6．下列函数中,值域是(0,+∞)的是（　　）
　A． y=√x2−3x+1
　B． y=1x2
　C． y=x2+x+1
　D． y=2x+1(x＞0)

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【答案】B
【解析】
　　A． y=√x2−3x+1≥0,不符合题意;
　　B． y=1x2＞0,满足题意;
　　C． y=x2+x+1≥34,不满足题意;
　　D． y=2x+1(x＞0)>1,不满足题意,故选B．

7．已知函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域是R,则m的取值范围是（　　）
　A． 0＜m≤4
　B． 0≤m≤1
　C． m≥4
　D． 0≤m≤4

【查看答案】

【答案】D
【解析】
　　当m=0时,函数f(x)=1的定义域是R;
　　当m≠0时,因为函数f(x)=√mx2+mx+1的定义域是R,所以{　　m＞0　　m2−4m≤0　　,所以0＜m≤4.
　　综上可得， m的取值范围是0≤m≤4.

8．已知函数y=f(2x−1)的定义域是[0,1],则f(2x+1)log2(x+1)的定义域是（　　）
　A． [1,2]
　B． (−1,1]
　C． [−12,0]
　D． (−1,0)

【查看答案】

【答案】D
【解析】
　　依题意,当0≤x≤1时, −1≤2x−1≤1,则函数f(x)的定义域为[−1,1],
　　要使f(2x+1)log2(x+1)有意义,则{　　−1≤2x+1≤1　　x+1＞0　　x+1≠1　　,解得−1＜x＜0,故选D．

9．已知函数f(x)的值域为[−32,38],则函数g(x)= f(x)+√1−2f(x)的值域为（　　）
　A． [12,78]
　B． [12,1]
　C． [78,1]
　D． (0,12]∪[78,+∞)

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【答案】B
【解析】
　　设√1−2f(x)=t,由f(x)的值域为[−32,38]可得t∈[12,2],则f(x)=1−t22,则y=1−t22+t=−12t2+t+12在t=1时取得最大值1,在t=2时取得最小值12.
　　故所求的值域为[12,1].

10．集合{x|−1≤x＜0或1＜x≤2}用区间表示为______.

【查看答案】

【答案】
　　[−1，0)∪(1，2]
【解析】
　　根据区间的概念可知集合{x|−1≤x＜0或1＜x≤2}用区间表示为[−1，0)∪(1，2].

11．已知f(3^x)=x+2，若f(a)=1，则a=______.

【查看答案】

【答案】13
【解析】
　　因为f(3^x)=x+2，所以当f(a)=1时，即x=−1，所以a=3−1=13.

12．已知f(x)=2x+1x,x∈[1,+∞),则函数f(x)的值域为______.

【查看答案】

【答案】(2,3]
【解析】
　　因为f(x)=2x+1x=2+1x,x∈[1,+∞),所以01x≤1,则2＜2+1x≤3,则函数f(x)的值域为(2,3].

13．若函数f(−x2+4x−1)的定义域为[0, m],且可求得函数f(2x−1)的定义域为[0,2],则实数m的取值范围是______.

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【答案】2≤m≤4
【解析】
　　由f(2x−1)的定义域为[0,2]可得f(x)的定义域为[-1,3],
　　由条件只需x∈(0,m)时,t=−x2+4x−1的值域为[-1,3],
　　借助数形结合法可得2≤m≤4.

14．已知函数f(x)的定义域为(-1,4].
　　(1)求函数h(x)= f(x)√2−x的定义域;
　　(2)已知函数g(x)=f(√x-1),求函数g(x)的定义域.

【查看答案】

【答案】见解析
【解析】
　　(1)由函数h(x)的解析式有意义可得{　　−1＜x≤4　　2−x＞0　　，解得-1＜x＜2.
　　所以函数h(x)的定义域为(-1,2).
　　(2)设t=√x-1,则g(x)=f(t).
　　由已知可得函数f(x)的定义域为(-1,4],
　　所以t∈(-1,4],即√x-1∈(-1,4],解得x∈(0,25].
　　故函数g(x)的定义域为(0,25].

15．求下列函数的值域:
　　(1)f(x)= 2x−1x+1;
　　(2)f(x)=x-√x+1.

【查看答案】

【答案】见解析
【解析】
　　(1)方法一：因为f(x)= 2(x+1)−3x+1=2-3x+1,所以f(x)≠2,
　　所以函数f(x)的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
　　方法二：因为y=2x−1x+1,所以x=−y−1y−2,
　　所以y≠2,所以函数f(x)的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
　　(2)令√x+1=t(t≥0),则x=t²-1,
　　所以y=t²-t-1(t≥0).
　　因为抛物线y=t²-t-1开口向上,对称轴为直线t=12∈[0,+∞),
　　所以当t=12时,y取得最小值为-54,无最大值,
　　所以函数f(x)的值域为[-54,+∞).