专题01 函数问题的灵魂-定义域问题-高三数学万能解题模板【2022版】（解析版）

专题1 函数问题的灵魂——定义域

【高考地位】

在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数．定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题．通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小．

方法一 直接法

万能模板	内      容
使用场景	函数的解析式已知的情况下
解题模板	第一步  找出使函数所含每个部分有意义的条件，主要考 虑以下几种情形： （1）       分式中分母不为0； （2）       偶次方根中被开方数非负； （3）       的底数不为零； （4）       对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0； （5）       正切函数的定义域为． 第二步   列出不等式（组）； 第三步   解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数的定义域．

【例1】（2021·新沂市第一中学高三模拟）函数的定义域是（   ）

A．                                            B．

C．                                            D．

【答案】C

【解析】由题意得解得或.所以原函数的定义域为.

故选：C.

【变式演练1】（2021·广东高三模拟）设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则A∩B等于（   ）

A．                     B．                      C．                   D．

【答案】C

【解析】函数的定义域为，即，

函数的定义域为，则，

所以，

故选：C.

例2．【黑龙江省大庆市第四中学2020届月考】函数的定义域为（   ）

A．                     B．

C．                        D．

【答案】A

【解析】函数有意义，

则，

解得，

所以函数的定义域为.

故选：A

【名师点睛】

本题考查了求具体函数的定义域、正切函数的性质，属于基础题.

【变式演练2】求函数的定义域．

【答案】当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为．

【解析】要使原式有意义需要满足，即

当时，是上的增函数，所以；

当时，是上的减函数，所以；

综上所述，当时，函数的定义域为；

当时，函数的定义域为．

例3．若函数的定义域为，则实数取值范围是（  ）

A．                B．            C．               D．

【答案】A

【解析】由于函数的定义域为，所以在上恒成立，即方程至多有一个解，所以，解得，则实数取值范围是．

故选A．

【名师点睛】已知函数的定义域求有关参数问题，往往转化为不等式恒成立问题．

【变式演练3】已知函数f（x）=的定义域是R，则实数的取值范围是（   ）

A．     B．      C．   D．

【答案】A

【解析】函数的定义域为，只需分母不为即可，所以或 ，可得，故选A．

方法二 抽象复合法

万能模板	内      容
使用场景	涉及到抽象函数求定义域
解题模板	利用抽象复合函数的性质解答： (1)已知函数的定义域为，求复合函数的定义域： 只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域． (2)已知复合函数的定义域为，求函数的定义域： 只需根据求出函数的值域，即为函数的定义域．

例4．求下列函数的定义域：

（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域．

（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域．

（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）令-2≤—1≤2 得-1≤≤3，即  0≤≤3，从而  -≤≤

∴函数的定义域为．

（2）∵的定义域为，即在中∈，令，∈，则∈，即在中，∈∴的定义域为．

（3）由题得，∴函数的定义域为．

【名师点睛】（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域．第1小题就是典型的例子；（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域．第2小题就是典型的例子；（3）求函数的定义域，一般先分别求函数和函数的定义域和，在求，即为所求函数的定义域．

【变式演练4】（2021·全国高三模拟）已知函数的定义域为，若有定义，则实数的取值范围是（   ）

A．                B．               C．                    D．

【答案】D

【解析】由题意可得，解得．

因为有定义，所以当时，由，得；

当时，由，得；

当时，，恒成立．

综上，实数的取值范围是．

故选：D．

【变式演练5】【山东省泰安市2020届高三6月三模】已知函数，则函数的定义域为（   ）

A．                                                   B．

C．                                   D．

【答案】D

【解析】令即，解得.

若有意义，则即.

故选：D.

【名师点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.

【变式演练6】（2021·湖北襄阳五中高三二模）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______．

【答案】

【解析】令，则，

在上单调递增，，，，

的定义域为.

方法三 实际问题的定义域

万能模板	内      容
使用场景	函数的实际应用问题
解题模板	第一步    求函数的自变量的取值范围； 第二步    考虑自变量的实际限制条件； 第三步    取前后两者的交集，即得函数的定义域．

例5．用长为的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）．若矩形底边长为，求此框架围成的面积与关于的函数解析式，并求出它的定义域．

【答案】，函数的定义域为

【解析】如图，设，则= ，于是，因此，即，再由题得，解之得，所以函数解析式是，函数的定义域是 ．

【名师点睛】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义的条件，还有保证实际意义；（2）该题中考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都要有意义，即，不能遗漏．

【变式演练7】（2021·全国课时练习）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为.①

求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.

【答案】定义域为，值域为，描述见解析.

【解析】定义域为，值域为，

对于数集中的任一个数t，

在数集中都有唯一确定的数与之对应.

【点睛】

本题考查函数的定义域、值域以及函数的定义，需要对函数概念及三要素的灵活掌握，属于基础题.

【高考再现】

1．【2017山东理】设函数的定义域，函数的定义域为，则

（A）（1，2）        （B）     （C）（-2，1）          （D）[-2，1)

【答案】D

【考点】 1．集合的运算2．函数的定义域3．简单不等式的解法．

【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理．

2．【2016·全国卷Ⅱ】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10^{lg x}的定义域和值域相同的是(　　)

A．y＝x  B．y＝lg x    C．y＝2^x  D．y＝

【答案】D　

【解析】 y＝10^lgx＝x，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D满足题意．

3．【2014山东．理3】 函数的定义域为（   ）

A．            B．         C．       D．

【答案】

【解析】由已知得即或，解得或，故选．

【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的定义域．解答本题关键是利用求函数定义域的基本方法，建立不等式组求解．本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及计算的准确性．

4．【2015高考重庆，文3】函数的定义域是（   ）

(A)                      (B)  

(C)           (D)

【答案】D

【解析】由解得或，故选D．

【考点定位】函数的定义域与二次不等式．

【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解．         本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零．

5．【2015高考湖北，文6】函数的定义域为（  ）

A．                                                      B．        

C．                                           D．

【答案】．

【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为，故应选．

【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容．

【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性．

6.【2020年高考北京卷11】函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】要使得函数有意义，则，即，∴定义域为．

【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．

7．【2015高考山东，理14】已知函数 的定义域和值域都是，则             ．

【答案】 

【解析】若，则 在上为增函数，所以，此方程组无解；

若，则在上为减函数，所以，解得，所以．

【考点定位】指数函数的性质．

【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用．

8．【2019年高考江苏】函数的定义域是  ▲   ．

【答案】

【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域．

由已知得，即，解得，故函数的定义域为．

【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

【反馈练习】

1．（2021·天津高三期末）函数的定义域为（   ）

A．                                                       B．

C．                                           D．

【答案】D

【解析】要使函数有意义，只需，解得，即函数定义域为或.故选D.

2．【云南省昆明市第一中学2020届高三考前第九次适应性训练】设函数的定义域为A，函数的值域为B，则(    )

A．                    B．                    C．                   D．

【答案】A

【解析】函数定义域满足：，即，所以，

函数的值域，所以，

故选：A.

【名师点睛】

本题考查了函数定义域，值域，交集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

3．（2021·哈尔滨市第三十二中学校高三期末（文））函数的定义域为（   ）

A．                                                       B．

C．                                              D．

【答案】C

【解析】欲使函数有意义，则，即，解得，故选：C.

4．【2020届河南省郑州市高三第二次质量预测】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（   ）

A．                  B．               C．                       D．

【答案】D

【解析】由题意，对于函数，，解得，即；

对于函数，，解得，即，

所以.故选：D.

【名师点睛】

本题考查函数的定义域，考查集合的交集，属于基础题.

5．（2021·广东深圳中学高三期中）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为(   )

A．                 B．                   C．                   D．

【答案】A

【解析】由题设有，由得，故选A.

【点睛】

本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.

6．【2020届百师联盟高三联考】函数的定义域为(    )

A．                    B．                 C．                     D．

【答案】C

【解析】解：根据函数解析式，有，解得，所以函数的定义域为，故选：C.

【名师点睛】

本题考查函数的定义域，关键是使式子有意义，一元二次不等式及对数不等式的解法，属于中档题.

7．（2019·河北张家口中学月考）若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ）

A．            B．            C．            D．

【答案】A

【解析】∵函数f（x）的定义域为R，∴不等式mx²mx+2>0的解集为R，

①m＝0时，2>0恒成立，满足题意；

②m≠0时，则，解得0＜m<8．

综上得，实数m的取值范围是，故选A．

【名师点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R时，判别式△需满足的条件．

8．（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】，

，解得，故函数的定义域为.

故答案为：.

9．（2021·广东金山中学高三月考）函数的定义域为______．

【答案】；

【解析】由题意，函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为.

【点睛】

方法点睛：常见的具体函数求定义域：

(1)偶次根号下的被开方数大于等于0；(2)分式中的分母不为0；(3)对数函数中真数大于0.

10．【上海市南模中学2019-2020学年高三模拟】函数的定义域是______.

【答案】

【解析】因为，所以，所以，

所以，解得或或.

故答案为：

【名师点睛】

本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

11．（2021·北京高三一模）函数的定义域为_____.

【答案】

【解析】依题意知，函数有意义，则需，解得，故定义域为．

12．（2021·贵州省思南中学高三一模（理））函数的定义域为________.

【答案】

【解析】由题意，要使函数有意义，则满足，

解得，即函数的定义域为.

13．【2020届陕西省咸阳市高三上学期期末】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出的一个“同域函数”的解析式为____________.

【答案】，（答案不唯一）

【解析】由得：   的定义域为

又为定义域内的增函数    值域为

的一个“同域函数”为，

故答案为：，（答案不唯一）

【名师点睛】

本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求解函数的定义域和值域得到所求函数.

14．【2020届江西省分宜中学高三上学期第一次段考】已知函数的定义域为，则函数的定义域为________.

【答案】

【解析】因为的定义域为，即。所以此时括号的范围为

。

对于函数即是：，即

故答案为：

【名师点睛】

此题考查抽象函数求定义域问题，关键两点：定义域一定指的取值范围，同一个函数括号内的范围相同，属于简单题目。

15．（2021·全国）设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图），要求满足条件（常数），，写出横截面的面积y关于腰长x的函数，并求它的定义域和值域.

【答案】定义城为，值域为.

【解析】如图，连接，过分别作的垂线，垂足为，

因为，所以，即，

因为，

所以，所以，

，

，

故当时，y有最大值，

故它的定义城为，值域为.

【点睛】

本题考查了求函数的解析式、定义域和值域的问题，解题时应认真解析题意，建立函数的解析式，求出函数的定义域和值域，是中档题.

16.【2020届湖南新课标普通高中学业水平考试仿真模拟卷】已知函数.

（1）若，求的值；

（2）求函数的定义域；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1），，解得；

（2）对于函数，有，解得且.

因此，函数的定义域为；

（3），令，由，得，参变量分离得，

二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.

所以，函数在区间上单调递减，

当时，该函数取得最大值，即，.

因此，实数的取值范围为.

【名师点睛】

本题考查利用函数值求参数、函数定义域的求解以及不等式恒成立问题的求解，考查参变量分离法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.