【原】高考（高二）数学：决定导函数正负的为二次函数

【题型】：已知：原函数的导函数为，定义域：。

         求解：函数的单调性。

【解法设计一】：不等式解法

分类讨论：

第一种情况：当时：导函数；

分类讨论：

（1）、当时：导函数；

①当时：当时：当时：单调递增；

②当时：当时：当时：单调递减。

（2）、当时：

令。

①当时：，。

当时：当时：单调递增。

②当时：，。

当时：当时：单调递减。

③当时：，。

列表格：

		极小值

 

（3）、当时：

令。

①当时：，。

当时：当时：单调递减。

②当时：，。

当时：当时：单调递增。

③当时：，。

列表格：

		极大值

 

第二种情况：当时：

计算判别式：。

分类讨论：

（1）、当时：

，当时，当时，单调递增。

（2）、当时：

令：。

分类讨论：

①当时：，。

当时，当时，单调递增。

②当且时：，

。

列表格：

		极小值

 

③当时：，

。

		极大值		极小值

 

④当且时：，

。

列表格：

		极大值

 

⑤当且时：，。

当时，当时，单调递减。

⑥当时：，。

当时，当时，单调递增。

第三种情况：当时：

计算判别式：。

分类讨论：

（1）、当时：

，当时，当时，单调递减。

（3）、当时：

令：。

分类讨论：

①当时：，。

当时，当时，单调递减。

②当且时：，。

列表格：

		极大值

 

③当时：，。

		极小值		极大值

 

④当且时：，。

列表格：

		极小值

 

⑤当且时：，。

当时，当时，单调递增。

⑥当时：，。

当时，当时，单调递减。

二、决定导函数正负的部分为二次函数高考试题训练：

【训练一】：【2017年高考理科数学天津卷】设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数。

（Ⅰ）求的单调区间。

【本题解析】：

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【训练二】：【2017年高考文科数学天津卷】设，。已知函数，。

（Ⅰ）求的单调区间。

【本题解析】：
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【训练三】：【2017年高考理科数学新课标Ⅰ卷】已知函数。

（Ⅰ）讨论的单调性。

【本题解析】：
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​【训练四】：【2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷】设函数。

（Ⅰ）讨论的单调性。

【本题解析】：
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​【训练五】：【2017年高考文科数学新课标Ⅲ卷】已知函数。

（Ⅰ）讨论的单调性。

【本题解析】：
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​【训练六】：【2017年高考文科数学新课标Ⅰ卷】已知函数。

（Ⅰ）讨论的单调性。

【本题解析】：
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​三、决定导函数正负的部分为二次函数高考试题训练参考答案：

【训练一】：【2017年高考理科数学天津卷】设，已知定义在上的函数在区间内有一个零点，为的导函数。

（Ⅰ）求的单调区间。

【本题解析】：。

第一步：求定义域：

没有任何限制条件。

第二步：求导函数：

；

第三步：令，。

列表格：

		极大值		极小值

 

所以：当时：单调递增；当时：单调递减；当时：单调递增。

【训练二】：【2017年高考文科数学天津卷】设，。已知函数，。

（Ⅰ）求的单调区间。

【本题解析】：第一步：求定义域：

没有任何限制条件。

第二步：求导函数：

。

第三步：计算判别式：

，。

第四步：分类讨论：

（1）、当，时：

开口向上，当时：当时：单调递增。

（2）、当，时：

令：，。

列表格：

		极大值		极小值

 

所以：当时：单调递增；当时：单调递减；当时：单调递增。

【训练三】：【2017年高考理科数学新课标Ⅰ卷】已知函数。

（Ⅰ）讨论的单调性。

【本题解析】：第一步：求定义域：

无任何限制条件。

第二步：求导函数：

。

第三步：分类讨论：

（1）、当时：；

当时：单调递减。

（2）、当时：

。

分类讨论：

①当，时：这种情况不成立。

当，时：

令：或者，

。

列表格：

		极小值

 

（3）、当时：

。

分类讨论：

①当，时：

开口向下，当时：当时：单调递减。

②当，时：

令：或者。

当时：当时：单调递减。

所以：当时：当时：单调递减；

当时：当时：单调递减；当时：单调递增。

【训练四】：【2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷】设函数。

（Ⅰ）讨论的单调性。

【本题解析】：第一步：求定义域：

无任何限制条件。

第二步：求导函数：

。

第三步：计算判别式：

。

第四步：令：，。

列表格：

		极小值		极大值

 

所以：当时：单调递减；当时：单调递增；当时：单调递减。

【训练五】：【2017年高考文科数学新课标Ⅲ卷】已知函数。

（Ⅰ）讨论的单调性。

【本题解析】：第一步：求定义域：

对数函数真数大于零。

第二步：求导函数：

。

分类讨论：

（1）、当时：；

令：，。

当时：当时：单调递增。

（2）、当时：

计算判别式。

分类讨论：

①当，时：

开口向上，当时：当时：单调递增。

②当，时：

令：或者，

。

当时：当时：单调递增。

（3）、当时：

计算判别式。

分类讨论：

①当，不存在。

当，时：

令：，。

列表格：

		极大值

 

所以：当时：当时：单调递增。

当时：当时：单调递增；当时：单调递减。

【训练六】：【2017年高考文科数学新课标Ⅰ卷】已知函数。

（Ⅰ）讨论的单调性。

【本题解析】：第一步：求定义域：

无任何限制条件。

第二步：求导函数：

。

第三步：计算判别式：

。

第四步：分类讨论：

（1）、当时：

开口向上，当时：当时：单调递增。

（2）、当时：

令：或，或者，或。

分类讨论：

①当，时：或

，。

列表格：

		极小值

 

②当，时：或，。

列表格：

		极小值

 

所以：当时：当时：单调递增。

当时：当时：单调递减，当时：单调递增。

当时：当时：单调递减，当时：单调递增。