「图解数学」系列将连载12期,根据欧几里得几何推演逻辑,用学生看起来最为直观的图形,来讲解平面几何各个知识点。精确覆盖SAT/ACT平面几何部分的所有考点;涉及AMC8和公立学校初中平面几何重要知识点,并为国际学校和公立学校学生作中英文对照。 推荐阅读人群:国际学校中学阶段,有意向考AMC的学生、公立学校初中学生、数学爱好者。 全文1500字,预计阅读时间:5分钟 如果要从人类智慧与理性发展史中选一部开山鼻祖的巅峰巨作,非欧几里得(Euclid)的《几何原本》(The Elements)莫属。自成书两千多年以来,一直流传至今,经久不衰,在西方世界的流传程度仅次于《圣经》。 《几何原本》是第一本向人们展示了数学推理、归纳演绎的极致著作。而其经久不衰的与其逻辑严密的是分不开的,每个定理(theorem)、性质(property)都是由之前的推导而出,环环相扣,保证严谨。而任何事情都有源头,推导的源头就是公设(postulation)。 欧氏几何五条公设:
由此我们就有了点(point),两个点就能确定直线(line)、射线(ray)和线段(segment)。 当平面上有两条直线相交时,它们之间就存在了夹角(angle)。
值得注意的是,我在以上叙述中,并没有提及直角是多少度。事实上,一个直角是多少度并不重要也不本质,直角是90°只不过由于人们把周角定义为360°而已,并不是数学发展必然的结果(比如如果一开始人们把一圈叫做100°,那么直角就是25°也是合理的)。 所以在研究三角函数的时候,人们采用弧度制(radian measure),即用弧长比半径,这样表示角更为本质。 当有了角的定义,人们发现并命名了两种特殊的角度关系:
平面中的直线会不会永远不相交呢? 因为直线是无限延长的,一直延伸下去会发生什么人们无从得知也无法证明。欧氏几何认为存在这样一种永不相交的状态,命名为平行(parallel)。 两条直线平行有什么性质,也无法由之前的四个公设中得出,因此产生了平行公设(parallel postulate),也称为欧几里得第五公设,在《几何原本》应运而出。这是欧几里得几何一条与别的不同的公设,比前四条复杂。公设是说:
这条公设永远不会被证明,也永远不会被证伪,如果认为它是对的,将引出中学平面几何中重要的平行线的性质:
好,学到这里,让我们来复习一下今天的知识点: 今日延伸也许大家早都知道三角形内角和是180°,可是是否有仔细想过, 为什么三角形内角和是180°? 为什么三角形形状改变,内角和永远不变? 现在想想,根据下图并且利用上述公设定理自行证证吧! 数学的严谨性来源于证明,乐趣亦是存在于此。 |
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来自: 当以读书通世事 > 《073-数学(大中小学)》