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预警：本文解答与命题组“标准答案”不一致，请读者思考、判断。 题目： 现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC，CD交于点M，N。 1、如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是__________________； 2、如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线的交点），则题目1中的结论是否仍然成立？请说明理由； 3、如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？ 4、如图4是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说理） 分析： 本题1~4其实只有2个问题： 1、OM与ON的数量关系是什么？（题目1，题目2） 2、已知OM与ON的数量关系（相等），那么O的位置在哪里？（题目3，题目4） 本质上，只有1个问题：OM与ON的数量关系是什么？ 所以，统一解答如下： 问：如何求OM与ON的数量关系？ 答：先表达出OM与ON的数量，再来求两者的关系。 问：如何表达OM与ON的数量（长度）？ 答：勾股定理，或距离公式。 辅助线：作OM'⊥直线BC，作ON'⊥直线CD，垂足分别为M'，N'（题目1中，A与O重合，M'与B重合，N'与D重合）。 在四边形OM'CN'中，其余三个角都是90°，所以∠M'ON'=90°。因为∠MON=90°，所以∠M'OM=∠N'ON。又，∠ON'N=∠OM'M=90°，所以△OM'M∽△ON'N。
注：题目3、4的“标准答案”仅为线段AC和直线AC 方法二 呃，大家是否觉得不过瘾？下面给大家提供另一种方法。思路仍然是找OM与ON的数量关系，但不是用纯几何方式，而是引入坐标系求解。 以C为原点，射线CD为y轴正半轴，射线CB为x轴负半轴，建立直角坐标系（思考：为什么这样建立坐标系？）。记正方形ABCD的边长为a，则A（-a，a），B（-a，0），C（0，0），D（0，a）。 记点O坐标为（x，y），点M（m，0），点N（0，n），则有如下表达式： 注：先假设所有式子中的分母均不等于0，读者可以自己尝试考虑分母为0的特殊情况。 题目1：O与A重合，此时x=-a，y=a，于是有
题目2：O的坐标为（-a/2，a/2），于是有 同理于题目1，可得n=a+m，消去n可得OM=ON。 题目3与题目4：已知OM=ON，所以有如下关系： 所以，点O坐标满足y=±x。 解题： 略 回顾： 1、严格按照题设条件“直角三角板两边所在的直线，与BC和CD所在的直线，有两个交点M，N”，那么所得到的解应当包含∠C补角的平分线； 2、按照第二种方法，虽然看起来麻烦一些，但有2个好处：1、适用性强；2、不易漏解。另外，更应看重多一种解法时，对思维的拓展作用； 3、为什么如此建立坐标系：为了少一些参数。否则，M，N的坐标将包含更多参数，计算复杂； 4、这一系列的文章，大多时候都会给出多种方法，但答案始终与命题组一致。本期，首次出现与命题组不一致的情况，欢迎大家思考、吐槽。 |
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利用第1个式子（n=2a+m），消去第3个式子中的n，整理可证OM=ON。
