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前言：应读者来信，春节后更新填空、选择题的正经分析与不正经技巧！ 题目： 如图1，直线l交x轴于点A，交y轴于点C（0，4）。抛物线L经过点A，交y轴于点B（0，－2）。点P为抛物线L上一个动点，经过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m。 1、求抛物线L的解析式； 2、当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长； 3、如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD'P'，且旋转角∠PBP'=∠OAC，当点P的对应点P'落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标。 分析：跟着问题找条件 题目1： 问：如何求抛物线L解析式？ 答：L解析式中有2个未知数，需要L上2个点的坐标（顶点坐标可以一抵二，对称轴可以抵1个点坐标）。本题中，即为A，B（0，－2），其中A坐标未知。 问：如何求点A坐标？ 答：A是直线l与x轴交点。但是l解析式未知。 问：如何求l解析式？ 答：l解析式有1个未知数n，需要l上1个点的坐标。本题中即为C（0，4）。 于是 按照惯例，甭管有用没用，求出对称轴x=1，顶点（1，－8/3），L与x轴另一交点（－1，0）； 题目2： 问：PD长度怎么求？ 答：根据距离公式，需要知道点P和点D的坐标。根据PD⊥x轴，P和D的横坐标相同，我们需要知道点P和点D的纵坐标即可。 问：点P和点D坐标怎么求？ 答：根据△BDP为等腰直角三角形，通过PD=DB建立关于点P、点D坐标的方程。其中B为已知点。 记P（p，y），则y满足L解析式；即D（p，d）。 第一步，求P，D坐标，并计算PD 第二步：验证合理性 如上，第一组解明显不合理，舍去； 题目3： 问：怎么求P的坐标？ 答：根据与P相关的2个条件建立关于P坐标的方程，也就是把下面2个条件用P的坐标表述：
问：第1个条件怎么表述？
问：第2个条件怎么表述？ 答：注意，除了∠PBP'=∠OAC，这个条件还包含了另1个信息：BP=BP'。其中，∠PBP'=∠OAC，只能用三角函数值去表述，其中tan∠OAC=4/3，sin∠OAC=4/5，cos∠OAC=3/5。 问：选择∠PBP'的哪个三角函数？又怎么去表述？ 答：哪个都行，只有计算量的差异，没有方法优劣的差异。过P'向BP引垂线，交点为Q。则 根据最后一个式子，我们可以用P的坐标表达Q的坐标。 记P（p，y），则y满足L解析式；记P'（p'，0）位于x轴，或P'（0，p'）位于y轴。于是 Q的坐标如下 P'（p'，0）位于x轴时 怎么样，这个画风是不是一股泥石流扑面而来！别急，我们换一种“正确的打开方式”。 注意到，BD∥x轴，当逆时针旋转后，BD'与x轴夹角大小即为∠OAC，我们能够以较为简便的式子对此进行描述：先找到D'的坐标，然后求解P'D'的解析式，利用P'D'与坐标轴的交点得到P'坐标，最后通过B P'=BP得到关于P坐标的方程。 第一步：求解D'的坐标 记D'（x'，y'），由题目2可知 第二步：求解P'D'解析式 由于P'D'⊥BD'，可得P'D'解析式 第三步：求解P'坐标 第四步：建立关于p的方程
另一个因式恒大于0；
第五步：验证解的合理性 此处重点关注P与D的相对位置，P'与D'的相对位置，这2组位置应当是一致的。但是在求解P'坐标时，并未考虑这点，所以有可能出现不合理的情况。经过检验，第1组解不合理（P与B重合），第4组解不合理（P在D的下方；但P'在D'的右侧，应当在左侧）。 回顾： 题目3有没有其他解法？有！充分利用几何性质，以及旋转前后线段长度不变等特点进行分类讨论。大家可以自行尝试。
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