用三线摆测刚体的转动惯量

imelee 2018-01-21

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转动惯量是刚体转动时惯性的量度, 其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。例如：电磁系仪表的指示系统，因线圈的转动惯量不同，可分别用于测量微小电流（检流计）或电量（冲击电流计）。在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上，精确地测定转动惯量，都是十分必要的。对于质量分布均匀，外形不复杂的物体可以从它的外形尺寸的质量分布用公式计算出相对于某一确定转轴的转动惯量。对于几何形状简单、质量分布均匀的刚体可以直接用公式计算出它相对于某一确定转轴的转动惯量。而对于外形复杂和质量分布不均匀的物体只能通过实验的方法来精确地测定物体的转动惯量，因而实验方法就显得更为重要。

测定刚体转动惯量的方法很多，常用的有三线摆、扭摆、复摆等。本实验采用的是三线摆，是通过扭转运动测定物体的转动惯量，其特点是无力图像清楚、操作简便易行、适合各种形状的物体，如机械零件、电机转子、枪炮弹丸、电风扇的风叶等的转动惯量都可用三线摆测定。这种实验方法在理论和技术上有一定的实际意义本实验的目的就是要求学生掌握用三线摆测定物体转动惯量的方法，并验证转动惯量的平行轴定理。

实验原理
三线摆的结构如图4.2.3-1所示。三线摆是在上圆盘的圆周上，沿等边三角形的顶点对称地连接在下面的一个较大的均匀圆盘边缘的正三角形顶点上。

当上、下圆盘水平三线等长时，将上圆盘绕竖直的中心轴线O₁O转动一个小角度，借助悬线的张力使悬挂的大圆盘绕中心轴O₁O作扭转摆动。同时，下圆盘的质心O将沿着转动轴升降，如图4.2.3-2所示。=H是上、下圆盘中心的垂直距离；=h是下圆盘在振动时上升的高度；是上圆盘的半径；是下圆盘的半径；α是扭转角。

由于三悬线能力相等，下圆盘运动对于中心轴线是对称的，我们仅分析一边悬线的运动。用L表示悬线的长度，见图4.2.3-2。当下圆盘扭转一个角度α时，下圆盘的悬线点移动到，下圆盘上升的高度为，与其他几何参量的关系可作如下考虑。从上圆盘A点作下圆盘的垂线，与升高前后的下圆盘分别相交于和。

在直角三角形中

（1）

由图4.2.3-2可知，，故上式可写成：

（2）

由可知，，因而有

（3）

在直角三角形中

（4）

式中设悬丝不伸长，则

因而上式可写为：

（5）

比较式（2）和式（5），消去后得：

（6）

cosα按级数展开

考虑到α是小量，略去高于的后各项，又因相对于L和H而言为无穷小量，故可略去高于一阶的微量，由式（6）可得：

（7）

当下圆盘的扭转角α很小时，下圆盘的振动可以看作理想的简谐振动。其势能E_p和动能E_k分别为：

（8）

式中是下圆盘的质量，为重力加速度，为圆频率，为下圆盘的上升速度，为圆盘对轴OO₁的转动惯量。
    若忽略摩擦力的影响，则在重力场中机械能守恒：
                         恒量（9）
    因下圆盘的转动能远大于上下运动的平动能，即

于是近似有
                         恒量           （10）

    将式（7）代入式（10）并对t求导，可得：
                                          （11）
    该式为简谐振动方程，可得方程的解为：

    因振动周期，代入上式得：
    故有：
                                             （12）
    由此可见，只要准确测出三线摆的有关参数、、、和，就可以精确地求出下圆盘的转动惯量。
    如果要测定一个质量为的物体的转动惯量，可先测定无负载时下圆盘的转动惯量，然后将待测物体放在下圆盘上，并注意，必须让待测物的质心恰好在仪器的转动轴线上。测定整个系统的转动周期，则系统的转动惯量可由下式计算：
                                         （13）
    式中为放了待测物之后的上、下盘间距，一般可以认为。待测物体的转动惯量为：
                         （14）
    用这种方法，在满足实验要求的条件下，可以测定任何形状物体的转动惯量。

我们知道物体的转动惯量取决于物体形状质量分布以及相对于转轴的位置。因此，物体的转动惯量随转轴不同而改变，转轴可以通过物体内部，也可以在物体外部。就两个平行轴而言，物体对于任意轴的转动惯量，等于通过此物体以质心为轴的转动惯量加上物体质量与两轴间距离平方的乘积。这就是平行轴定理，其表达式为：
                                               （15）
    通过改变待测物质心与三线摆中心转轴的距离，测量与的关系便可验证转动惯量的平行轴定理。
    测转动惯量的方法还有多种，常用的扭摆是其中之一。扭摆法测转动惯量的原理是使物体作扭转摆动，由摆动周期及其他参数的测定计算出物体的转动惯量。此法可测定不同形状的物体的转动惯量和弹簧的扭转系数，可与理论值进行比较以及验证转动惯量平行轴定理。


实验内容
1．测定仪器常数、、和。
    恰当选择测量仪器和用具，减小测量不确定度。自拟实验步骤，确保三线摆的上、下圆盘的水平，使仪器达到最佳测量状态。
2．测量下圆盘的转动惯量，并计算其不确定度。
    转动三线摆上方的小圆盘，使其绕自身轴转一角度α，借助线的张力使下圆盘作扭摆运动，而避免产生左右晃动。自己拟定测的方法，使周期的测量不确定度小于其它测量量的不确定度。利用式（12），求出，并推导出不确定度传递公式，计算的不确定度。
3．测量圆环的转动惯量
    在下圆盘上放上待测圆环，注意使圆环的质心恰好在转动轴上，测量系统的转动惯量。测量圆环的质量和内、外直径、。利用式（14）求出圆环的转动惯量。并与理论值进行比较，求出相对误差。
    圆环绕中心轴的转动惯量的理论值可由下式计算。

    式中和分别为圆环内、外直径。
4．验证平行轴定理
    将质量和形状尺寸相同的两金属圆柱重叠起来放在下圆盘上，注意使质心与下圆盘的质心重合。测量转动轴通过圆柱质心时，系统的转动惯量。然后将两圆柱对称地置于下圆盘中心的两侧。测量此时系统的转动惯量。
    测量圆柱质心到中心转轴的距离，代入式（15），计算，并与测量值比较。