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例8 某加工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工,若进行粗加工，每吨加工费用600元,需1/3天，每吨售价4 000元.若进行精加工，每吨加工费用为900元，需1/2天，每吨售价4 500元.现将这50吨原料全部加工完. 1)设其中粗加工x吨，获利：y元，求:y与x的函数关系式（不要求写出自变量的范围）； (2)如果必须在20天内完成,如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【解题思路】第（1)题中.要搞清楚粗加工一吨可获利（4 000—3 000—600〉元，即400 元，精加工一吨可获利（4 500 —3 000 — 900)元，即600元，这样就能得到y与x的函教关系式. 第（2)題中，由于一次函数y=—200x+3000中，y随x的增大而减小，所以应求得x的取值范围取其中最小值时，y取得最大. 【解答】（1> y = (4 000 _ 3 000 — 600)x + (4 500 — 3 000 — 900) (50 —x)， 即y=—200x+30000. (2)当加工x吨时，精加工为(50 — x〉吨,由题意得 1/3x+1/2(50-x) ≤20,,所以x≥ 30,所以 30 ≤x≤<50 因为一次函数y =—200x+30000中，：y随x的增大而减小. 所以当x = 30时，y取得最大值,最大值y =— 200 X 30 + 30000 = 24000元. 此时，粗加工天数为30 X 1/3 = 10,精加工天数为(50—30) X1/2 = 10. 答：安排粗加工10天,精加工10天才能获得最大利润，最大利润是24000元. 【点拨与提醒】在日常生产和生活中函数关系广泛存在，在具体简单问题中，根据数量关系建立函数关系式是对初中学生的基本要求,另外，本题还要求进一步根据一次函数的性质确定最大利润，再结合题意确定安排生产的方案，具有一定的综合能力要求。 |
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